Задание 2

Величины X_ср, D_ут, S – случайные и являются точечными оценками математического ожидания М[X] дисперсии D[X] и среднеквадратического отклонения наблюдаемой в выборке случайной величины X.

2.1. Предполагая, что наблюдаемая величина X имеет нормальное распределение, построим доверительные интервалы для математического ожидания а=М[X] и среднеквадратического отклонения при уровне надежности γ=0,99

Поскольку известно, что величина имеет распределение Стьюдента с n-1 степенью свободы, то, решая уравнение относительно t_γ можно построить симметричный интервал , в котором с вероятностью γ находится математическое ожидание а. Величина представляет собой точность оценки. Решение есть обращенное распределение Стьюдента, оно протабулировано и может быть найдено из таблиц, например из [1, 2 приложение 3].

В рассматриваемом примере , и тогда доверительный интервал для математического ожидания будет или .

Для нахождения доверительного интервала оценки среднеквадратического отклонения σ воспользуемся тем, что величина имеет распределение «Хи» с n-1 степенью свободы. Задавшись надежностью интервальной оценки γ и решая уравнение относительно ε_γ можно построить доверительный интервал. Переходя к эквивалентному уравнению , где , найдем его решение q_γ=q(γ;n-1) из таблиц, например [1, 2 приложение 4], тогда точность оценки . Доверительный интервал строится таким образом: или , причем если , то

В нашем примере q_γ=q(0,99;29)=0,43 тогда и доверительный интервал будет следующий или

В нем оцениваемый параметр σ находится с вероятностью γ=0,99

2.2. Отметим, что построенные доверительные интервалы являются областями принятия гипотез и при их проверке с уровнем значимости . Теперь проверим гипотезу о равенстве математического ожидания и дисперсии наблюдаемой случайной величины указанным в задании гипотетическим значениям σ=0,8S, а=1,2X_ср.

Проверим сначала гипотезу о том, что истинная дисперсия наблюдаемой величины равна σ=0,8S, т.е. . Зададимся уровнем значимости гипотезы α₁=0,05 и альтернативными гипотезами или . Для проверки основной гипотезы воспользуемся критерием «Хи-квадрат» .

Наблюдаемое значение критерия . Критическая область К_кр при альтернативной гипотезе Н₁ двухсторонняя, а критические точки найдем из таблиц , . Видим, что k_набл не принадлежит критической области и значит, гипотеза принимается, т.е. отличие наблюдаемого значения дисперсии от гипотетического незначительны. Если в качестве альтернативной рассматривать гипотезу Н₂, поскольку σ<S значительно (20%), то при этом критическая область будет правосторонней, а критическую точку найдем из таблиц. Тогда наблюдаемое значение критерия попадает в критическую область и проверяемая гипотеза отвергается. Результат проверки гипотезы при различных альтернативах оказался разным, в итоге гипотеза отвергается.

Проверим теперь гипотезу о том, что истинное математическое ожидание наблюдаемой величины равна а=1,2X_ср, т.е. . Зададимся уровнем значимости гипотезы α₁=0,05 и альтернативными гипотезами или . Для проверки основной гипотезы воспользуемся критерием Стьюдента .

Наблюдаемое значение критерия . Критическая область К_кр при альтернативной гипотезе Н₁ двусторонняя, а критические точки найдем из таблиц , . Видим, что kнабл принадлежит критической области и значит, гипотеза отвергается, т.е. отличие наблюдаемого значения дисперсии от гипотетического значительны. Если в качестве альтернативной рассматривать гипотезу Н₂, поскольку а>X_ср значительно (20%), то критическая точка , тогда наблюдаемое значение критерия попадает в критическую область и проверяемая гипотеза опять отвергается. Результат проверки гипотезы при различных альтернативах оказался одинаковым, в итоге гипотеза отвергается.