Квантування

Нехай у результаті дискретизації безперервного сигналу S(t) була отримана послідовність вузьких імпульсів, що являє собою АІМ-сигнал. Амплітуди імпульсів рівні в цьому випадку миттєвим значенням сигналу S(t) у моменти , де І = 0, 1, 2, 3, ...; - період проходження імпульсів, або інтервал дискретизації.

Піддамо отриманий АІМ- сигнал квантуванню за рівнем (рис. 4.5). Для цього діапазон можливих значень амплітуд (тобто діапазон значень первинного сигналу) ділиться на відрізки, називані кроками квантування . Границі цих відрізків є дозволеними для передачі значень амплітуд імпульсів. Таким чином, амплітуди переданих імпульсів будуть рівні не миттєвим значенням первинного сигналу, а найближчим дозволеним рівням. Таке перетворення первинних сигналів можна називати квантованою амплітудно-імпульсною модуляцією (КАІМ). Особливістю КАІМ- сигналу є те, що всі його рівні можна пронумерувати (а їхнє число хоча й велике, але кінцеве) і тим самим звести передачу КАІМ- сигналу до передачі послідовностей номерів рівнів, які цей сигнал приймає в моменти .Якщо кроки квантування однакові й не залежать від рівня квантування, то квантування називають рівномірним. Можливо нерівномірне квантування, при якому кроки квантування різні. У процесі квантування виникає помилка внаслідок того, що переданий квантований сигнал відрізняється від дійсного. Цю помилку можна розглядати як специфічну перешкоду - шум квантування. Останній являє собою випадкову послідовність імпульсів рис. 4.6), максимальне значення амплітуди яких не перевищує половини кроку квантування. Чим менше крок квантування, тим менше шум, але більше число переданих дозволених рівнів. Наступний крок у перетворенні сигналу складається в перекладі квантованого АІМ- сигналу в цифровий. Ця операція називається кодуванням КАІМ- сигналу.

Кодування

Познайомимося з однією чудовою властивістю нашої системи числення - позиційністю. Зобразимо яке-небудь число, наприклад 777. У ньому той самий знак "7" бере участь 3 рази, але коли він стоїть праворуч, те означає сім одиниць, у центрі - сім десятків, ліворуч - сім сотень. Таким чином, при записі числа цифра може мати накреслення те саме, а цифрові значення - різні, залежно від місця, позиції, розряду, на якому вона стоїть. Такий принцип побудови чисел називається помісним, або позиційним. Для запису будь-яких як завгодно більших чисел досить десяти цифр! Кожна позиція, або розряд, числа має певну "вагу" (одиниці, десятки, сотні й т.д.), тому число 777 можна розписати як

777 = 7х10² + 7х10 + 7,

тобто як сім сотень плюс сім десятків плюс сім одиниць. Якщо викликати на допомогу алгебру й замість чисел записати букви, то можна одержати таку загальну форму подання числа:

або скорочену - через коефіцієнти, якщо опускати ступеня числа 10:

Число 10 є підставою системи числення. Коефіцієнти (число одиниць), (число одиниць другого розряду, тобто десятків), (число одиниць третього розряду, тобто сотень) і т.д. можуть приймати значення, не перевищуючі підстави системи: від 0 до 9. В 1665 р. французький математик Б. Паскаль показав, що за підставу системи числення можна прийняти будь-яке число, а це значить, що кожне число можна представити у вигляді комбінації ступенів не числа 10, якого-небудь іншого цілого числа. Виберемо, наприклад, число 7:

Ясно, що значення коефіцієнтів повинні тепер бути не більше нової підстави, тобто 7: вони можуть приймати значення від 0 до 6. Представимо число 777 у семеричної системі, розкладаючи його по ступенях підстави 7:

Якщо опустити ступеня числа 7, як ми робимо при записі чисел у десятковій системі, то одержимо семеричний запис цього числа: (2160)₇. Тут цифра 7 в індексі вказує підставу системи. У п’ятирічній позиційній системі всього п'ять цифр: 0, 1, 2, 3, 4. У ній число 777 буде представлятися кількістю "п'ятірок", "двадцатип‘яток" і т.д.:

Подивимося, як буде представлене число 777 у двенадцатеричной системі. Оскільки в ній повинне бути дванадцять цифр, а ми знаємо тільки десять, то прийде ввести ще дві цифри, позначивши 10, скажемо, буквою A, а 11 - буквою B. У результаті одержимо

Як бачите, можна придумати багато різних позиційних систем числення, що відрізняються тільки підставами. І всі вони, загалом кажучи, рівнозначні: жодна з них не має явних переваг перед інший! Число 2 - це найменше із чисел, яке можна взяти за підставу системи числення. Тому у двійковій системі числення всього дві цифри: 0 й 1. Число у двійковій системі запишеться так:

Якщо в десятковій системі "вага" кожної позиції (або розряду) числа дорівнює числу 10 до деякої міри, то у двійковій системі замість числа 10 використають число 2. "Ваги" перших 13 позицій (розрядів) двійкового числа мають наступні значення:

212	211	210	29	28	27	26	25	24	23	22	21	20
4096	2048	1024	512	256	128	64	32	16	8	4	2	1

Спробуємо записати вже звичне нам число (777)₁₀ у двійковій системі числення, представляючи його у вигляді розкладання по ступенях двійки й відкидаючи потім при записі самі ступені:

Отже, у двійковій системі числення замість числа 777 доводиться писати число 1100001001.При записі числа у двійковій системі кожна позиція зайнята двійковою цифрою. Замість двох слів "двійкова цифра" уживають одне слово: "біт". Ми вже згадували, що воно відбулося від англійського "bіt", складеного з початкових і кінцевих букв словосполучення "bіnary dіgіt", що в перекладі з англійського означає "двійкова цифра". За допомогою одного біта можна записати тільки число 0 й 1, двох біт - числа від 0 до 3, трьох біт - числа від 0 до 7, чотирьох біт - числа від 0 до 15 і т.д.

Десятиний запис:
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	...	15	16
Двійковий запис:
0	1	10	11	100	101	110	111	1000	1001	1010	1011	...	1111	10000

Щоб записати числа від 0 до 1 000, буде потрібно десять біт. У двійковій системі числення навіть порівняно невелике число займає багато позицій. Як тепер перевести дискретні значення струму мікрофона в цифровий двійковий код? В XVІІІ столітті найбільший математик Л. Эйлер показав, що за допомогою набору гир 1, 2, 4, 8, і 16 кг можна зважити будь-який вантаж з точністю до 1 кг. Вантаж, що зважує, (позначимо його масу через М, кг) математично можна представити як

де кожен коефіцієнт a = 1, якщо відповідну гирю кладемо на чашу ваг, a = 0, якщо цією гирею не користуємося при зважуванні. Таким чином, процедура зважування зводиться до подання десяткового числа у двійковій системі числення. Пояснимо це на прикладі. Нехай нам потрібно зважити вантаж масою 21 кг. Поставимо спочатку на чашу ваг саму більшу гирю - масою 16 кг. Оскільки вона не перетягає вантаж, залишимо гирю на чаші ( = 1) і додамо наступну - 8 кг. Ясно, що в цьому випадку чаша ваг з гирями перетягне чашу з вантажем. Знімемо цю гирю ( = 0) і встановимо гирю масою 4 кг. Провівши зважування до кінця, ми побачимо, що на вагах залишилися гирі масою 16, 4 й 1 кг. Значення коефіцієнтів дають п‘ятирозрядний двійковий код 10101 числа 21.Механічний вантаж ми зважували на механічних вагах. Уважаючи відлікове значення струму, що з'являється на виході електронного ключа, свого роду "електричним вантажем", можна здійснити аналогічне зважування, але цього разу електронним способом. Такі "електронні ваги" назвали кодером (від англійського соder - кодировщик). Допустимо, відлікове значення струму дорівнює 21 мА. Роль "електричних гир" у кодері виконують еталонні струми величиною 16, 8, 4, 2 й 1 мА, які виробляються спеціальним пристроєм. Кожна проба - підходить та або інша "гиря" або немає - виробляється в строго встановлені проміжки часу. Вся процедура зважування повинна закінчитися до приходу з електричного ключа наступного відлікового значення струму (нагадаємо, для звуків мови цей час становить усього 125 мкс). Отже, спочатку відлікове значення струму рівняється з еталоном, рівним 16 мА, і, оскільки воно більше еталона, на виході кодеру з'являється імпульс струму, що відповідає двійковій цифрі 1. У наступний інтервал часу до першого еталонного струму додається другою величиною 8 мА. Тепер сумарна вага "електричної гирі" дорівнює 24 мА. Це більше відлікового значення, тому другий еталонний генератор відключається. На даному інтервалі часу імпульс струму на виході кодеру не з'являється, що відповідає двійковій цифрі 0. І так далі. Таким чином, за час зважування одного відлікового значення кодер виробляє серію імпульсів, що повністю повторює двійковий код відлікового значення мікрофонного струму. Не можна не нагадати знову ще про один вид перекручувань, що з'являються при перекладі відлікового значення струму у двійковий код. Так, якщо кодуванню піддається відлікове значення 21,7 мА, кодер однаково видає код 10101, як й у випадку цілого значення 21 мА. Це й зрозуміло, оскільки "зважування" проводилося з точністю до 1 мА - ваги найменшої "електричної гирі". Таке округлення чисел у техніці називається квантуванням, а різниця між відліковим значенням струму й величиною, що набирає двійковим кодом, - помилкою квантування. Однак і перекручування, викликані помилками квантування, можна якщо й не виключити зовсім, то принаймні значно зменшити. Нехай, наприклад, сама маленька "електрична гиря" буде мати "вагу" 0,125 мА. Тоді, взявши вісім "гир", що відповідають 16; 8; 4; 2; 1; 0,5; 0,25; 0,125 мА, можна буде "зважувати" відлікові значення струму з точністю до 0,125 мА. При цьому число 21 представиться 8-розрядним двійковим кодом 10101000, а число 21,7 - кодом 10101101, де останні три цифри означають добавку 0,625 до числа 21. Застосування ж 12-розрядного двійкового коду дозволяє замість числа 21,7 набрати досить близьке до нього число 21,6921895. Успіхи в розвитку інтегральної мікросхемотехніки дозволили об'єднати в корпусі однієї невеликої мікросхеми електронний ключ і кодер. Ця мікросхема перетворить безперервну (часто говорять аналогову) електричну величину у двійковий цифровий код і відома за назвою аналого-цифрового перетворювача (АЦП). Випускаються АЦП із 8-, 10- і 12-розрядними двійковими кодами. Цікаво підрахувати, яку швидкість має цифровий потік, отриманий з безперервного телефонного сигналу шляхом дискретизації його через 125 мкс й 8-розрядного кодування. За секунду струм мікрофона змінюється 8000 разів. В 8-розрядному кодері кожне обмірюване значення струму представляється двійковим словом з 8 біт. Виходить, щосекунди в лінію відправляється 8000 х 8 = 64000 біт, тобто швидкість цифрового потоку дорівнює 64 кбіт/с.

Кодова комбінація з 8 біт, що утворить двійкове слово, називається байтом. Символи в кожній кодовій комбінації відділений друг від друга часовим інтервалом t_т, тобто треба із частотою . Ця частота називається тактовою. Перетворення відліків безперервного сигналу у двійковий код називається імпульсно-кодовою модуляцією (ІКМ). У наш час цей спосіб одержання цифрових сигналів з аналогових найпоширеніший . Системи передачі, що використають дане перетворення сигналів, називаються ІКМ системами. В іноземній літературі використається абревіатура РСМ (від англійських слів pulse code modulatіon, що в перекладі саме й означає імпульсно-кодова модуляція).