3. Теорема про ортогоналізацію.
Твердження. В сепарабельному евклідовому просторі всяка ортогональна система не більша за злічену.
Доведення
Дійсно, можна дану систему вважати не тільки ортогональною, а й нормованою (інакше її б можна було замінити системою ). При цьому = , якщо .
Розглянемо сукупність куль . Ці кулі не перетинаються. З того, що простір сепарабельний, слідує, що в ньому існує зліченна, всюди щільна множина . Якщо зліченна множина всюди щільна в R, то в кожній такій кулі є хоча б один елемент з . Звідси, число таких куль (а значить і елементів ) не більше, ніж злічене.
Теорема (про ортогоналізацію)
Нехай
f ,…,f ,… (8)
- лінійно незалежна система елементів в евклідовому просторі R.
Тоді в просторі R існує система елементів
,…, ,…, (9)
що задовольняє таким умовам:
Система (9) ортогональна і нормована;
Кожний елемент являє собою лінійну комбінацію елементів
f ,…,f : = +…+ , причому 0;
Кожен елемент можна подати у вигляді = +…+ , причому 0.
Кожен елемент системи (9) визначається умовами 1.-3. однозначно з точністю до співмножника .
Доведення
Елемент знаходимо у вигляді = ; при цьому визначається з умови = =1, звідки = = .
Ясно, що визначається цим однозначно (з точністю до знака).
Нехай елементи (k<n), що задовольняють умовам 1.-3., вже побудовані. Тоді f можна подати у вигляді f = , де =0 при k<n. Дійсно, відповідні коефіцієнти , а значить, і елемент однозначно визначається з умов:
= = =0.
Очевидно, що >0, припущення =0 було б супротивним лінійній незалежності системи (8).
Візьмемо = .
З індуктивної побудови ясно, що , а звідси, і виражаються через f ,…,f , тобто
= +…+ , де . Крім того, =1, =0 (k<n) і
= +…+ , тобто задовольняє умовам теореми.
Перехід від системи (8) до системи, що задовольняє умовам 1-3, називається процесом ортогоналізації. Підпростори, породжені системами (8) і (9), співпадають між собою, звідси ці системи повні, але не повні одночасно.
Наслідок. В сепарабельному евклідовім просторі R існує ортогональний нормований базис.
Дійсно, нехай - злічена всюди щільна множина в R. Виберемо з неї повну систему лінійно незалежних елементів . Для цього достатньо з послідовності виключити всі ті елементи , кожен з яких можна виразити лінійною комбінацією з i<k. Вживаючи процес ортогоналізації до такої повної системи лінійно незалежних елементів, ми будуємо ортогональний базис.
4. Нерівність Бесселя. Замкнені ортогональні системи. Рівність Парсеваля.
Вибравши в евклідовім n-вимірному просторі ортогональний нормований базис е ,…,е , можна кожен вектор x записати у вигляді
, (10)
де . (11)
Розглянемо, як узагальнити розклад (10) на випадок евклідового нескінченновимірного простору. Нехай ,…, ,… - ортогональна нормована система в евклідовому просторі R, і f – довільний елемент з R. Співвіднесемо елементу f послідовності чисел
(12) які назвемо координатами або коефіцієнтами Фур’є елемента f по системі { } та ряд (поки що формальний)
, (13)
який назвемо рядом Фур’є елемента f по системі { }.
Чи буде ряд (13) збіжний, тобто чи прямує послідовність його часткових сум (по метриці простору R) до якої-небудь границі і якщо він збіжний, чи співпадає його сума з вихідним елементом f?
Спочатку при заданому n спробуємо підібрати коефіцієнти так, щоб відстань між f і сумою
(14)
була мінімальною. Обчислимо цю відстань. Оскільки система ортогональна і нормована, то
= = + = = + = + .
Мінімум цього виразу досягається, коли останній доданок дорівнює нулю, тобто при
= . (15)
В цьому випадку
= . (16)
Показали, що серед усіх сум виду (14) при даному n найменше відхиляється від f частково сума ряду Фур’є елемента f.
Геометрично це можна пояснити так. Елемент , ортогональний всім лінійним комбінаціям виду , тобто ортогональний підпростору, породженому елементами , в тому і тільки в тому випадку, коли виконується умова (15).
Таким чином, цей висновок являє собою узагальнення відомої теореми геометрії: довжина перпендикуляра, який опущено з даної точки на пряму чи площину, менша за довжину будь-якої похилої, проведеної з цієї ж точки.
Оскільки завжди , то з рівності (16) випливає, що .
Тут n – довільне, а права частина не залежить від n; звідси ряд збіжний, і . (17)
Ця нерівність називається нерівністю Бесселя. Геометрично вона означає, що сума квадратів проекцій вектора f на взаємно ортогональні напрямки не більша за квадрат довжини самого вектора f.
Означення: Ортогональна нормована система називається замкненою, якщо для будь-якого f R справедлива рівність
= , (18)
що називається рівністю Парсеваля.
З тотожності (16) випливає, що замкненість системи рівносильна тому, що для кожного f R часткові суми ряда Фур’є збіжні до f.
Поняття замкненості ортогональної нормованої системи тісно пов’язані з повнотою системи.
Теорема:В сепарабельному евклідовім просторі R всяка повна ортогональна нормована система є замкненою, і навпаки.
Доведення.Нехай система { } замкнена; тоді який би не був елемент f R , послідовність числових сум його Фур’є збігається до f. Це значить, що лінійні комбінації елементів системи { } всюди щільні в R, тобто система { } повна. Обернено, нехай система { } повна, тобто будь-який елемент f R можна скільки завгодно точно апроксимувати лінійною комбінацією елементів системи { }; часткова сума ряду Фур’є дає не менш точну апроксимацію. Звідси, ряд збіжний і рівність Парсеваля виконується.
Ми показали існування повних ортогональних нормованих систем у сепарабельному евклідовім просторі. Оскільки для ортогональних нормованих систем поняття замкненості і повноти співпадають, то існування замкнених ортогональних систем у R не треба доводити, а наведені приклади повних ортогональних нормованих систем є водночас і прикладами замкнених систем.
Ми припускали, що всі ортогональні системи нормовані. Переформулюємо поняття коефіцієнтів Фур’є, ряду Фур’є і таке інше для будь-яких ортогональних систем. Нехай { } – довільна ортогональна система. За нею можна побудувати нормовану систему, що складається з елементів = . Для будь-якого f R маємо с = = ( );
= = ,
де = = . (19)
Коефіцієнти , що визначаються формулою (19), назвемо коефіцієнтами Фур’є елемента f по ортогональній (ненормованій) системі { }. Підставимо в нерівність (17) замість с їх вирази с = з (19) одержимо
(20)
- нерівність Бесселя для довільної ортогональної системи.