Билет №1: линейные уравнения вида ax=b.

а) a=0, b 0

a*x=b 0=b

нет решения

б) a 0 b=0

a*x=0 x=0

в) a=0 b=0

OX=0 0=0

X-любое число x R

г) a 0 b 0

ax=b x= – единственный корень уравнения.

Пример:

a -bx+c=0

a(x- )(x- )=0

если = , то

a +bx+c= a(x- )(x- )= a(x-

Билет №2:линейная функция, график, свойства.

Г рафиком линейной функции – является прямая. Для постоения прямой необходими иметь две точки.

1)

X
y

Y=ax+b, a 0

2 ) y=ax+b, a 0 3) y=b, x R

B

4 )x=a, y R a

Билет №3: квадратичная функция (график свойства).

Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида

a +bx+c=0,

Многие свойства квадратичной функции зависят от значения дискриминанта (фор-ла дискриминанта D= -4ac)

График квадратичной функции называется парабалой. Координаты вершины параболы:

m = - , n= - , где D- дискриминан. Нули функции определяются формулой = . Прямая x=m является осью симметрии графика квадратичной функции. При a 0 ветви направлены вниз, при а 0 вверх.

а 0 a 0

Билет №4:Дробнорациональные уравнения, методы решения.

Решения уравнений сводится к решению системы.

Методы решения:

1. Биквадратные уравнения решаются путем замены и введения новых переменных. Этот метод применяется для понижения степени и упрощения решения. Решив уравнения относительно новых переменных , найдем значение «x».

2. При решении уравнений часто применяется теорема Виета:

= ;

3. Биквадратное уравнение решается путем замены:

Если , корней нет; Если x=0; Если , (x- )(x+ )=0? X=-

Билет №5: Решение рациональных уравнений, методы решения:

(x+1)( -5x)-6(x+1)=0

(x+1)( -5x+6)=0

X+1=0

-5x+6=0

X+1=0 -5x+6=0

X=-1 D=(-5 -4*6=25-24=1

=3, =2

Билет№ 5: Системы рациональных уравнений. Методы решения.

1. МЕТОД СЛОЖЕНИЯ:

Метод состоит в том, что уравняв коэффициенты при одной из переменных при сложении или вычитании в результате получается уравнение относительно одной из переменных. Полученные значения переменной при решении уравнения подставить в любое уравнение системы и найти значение второй переменной. При решении любым методом ответ записывается: (x; y)

2. МЕТОД ПОДСТАНОВКИ:

Необходимо выразить из любого уравнения системы более удобную переменную и подставить в другое уравнение. При этом получается уравнение относительно одной переменной. Найдем ее значение и, подставив в любое уравнение, получим значение второй переменной.

3. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД:

Состоит в том, что из каждого уравнения необходимо получить функцию, т. е. выразить переменную «у», которая будет зависеть от переменной «х». При построении графика функций необходимо учитывать область определения (Д(у)). Решением системы будут координаты точек пересечения графиков функций.

4. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД:

Применяется для понижения степени и упрощения решения. При введении новых переменных мы получаем систему относительно новых переменных, а затем перейдем к решению и нахождению исходных переменных.

Билет№6: Модуль числа, определение, свойства.

Модуль действительного числа — это абсолютная величина этого числа.

Попросту говоря, при взятии модуля нужно отбросить от числа его знак.

Модуль числа a обозначается |a|. Обратите внимание: модуль числа всегда неотрицателен: |a|≥ 0.

|6| = 6, |-3| = 3, |-10,45| = 10,45

Определение модуля

Свойства модуля

1. Модули противоположных чисел равны
2. Квадрат модуля числа равен квадрату этого числа
3. Квадратный корень из квадрата числа есть модуль этого числа
4. Модуль числа есть число неотрицательное
5. Постоянный положительный множитель можно выносить за знак модуля	,
6. Если , то
7. Модуль произведения двух (и более) чисел равен произведению их модулей
8.

Геометрический смысл модуля

Модуль числа — это расстояние от нуля до данного числа.

Например, |-5| = 5. То есть расстояние от точки -5 до нуля равно 5.

Рассмотрим простейшее уравнение |x| = 3. Мы видим, что на числовой прямой есть две точки, расстояние от которых до нуля равно трём. Это точки 3 и -3. Значит, у уравнения |x| = 3 есть два решения: x = 3 и x = -3.

Пример 1.

|x — 3| = 4.

Это уравнение можно прочитать так: расстояние от точки до точки равно . С помощью графического метода можно определить, что уравнение имеет два решения: и .

Пример 2.

Решим неравенство: |x + 7| < 4.

Можно прочитать как: расстояние от точки до точки меньше четырёх. Ответ: (-11; -3).

Пример 3.

Решим неравенство: |10 — x| ≥ 7.

Расстояние от точки 10 до точки больше или равно семи. Ответ: (-∞; 3]υ [17, +∞)

График функции y = |x|

Для x≥ 0 имеем y = x. Для x < 0 имеем y = -x.

Решение уравнений и неравенств, содержащих модуль числа

При решении задач, содержаних модуль вещественного числа, основным приемом является раскрытие знака модуля в соответствии с его свойствами.

Таким образом, если под знаком модуля стоит выражение, зависящее от переменной, мы раскрываем модуль по определению:

В некоторых случаях модуль раскрывается однозначно. Например: , так как выражение под знаком модуля неотрицательно при любых и . Или , так как выражением под модулем не положительно при любых .

Билет№7: Алгоритм освобождения от знака модуля.

1. Прировнять выражения стоящих под знаком, т. е. найти нули модуля, решив полученные уравнения.

2. Расположить в порядке возрастания нули модулей на числовой прямой, которые разобьют ее на интервалы.

3. Определить знак выражения, стоящего под знаком модуля в каждом интнрвале.

4. Если выражение под знаком модуля положительное, то убирая модуль, знак, стоящий перед выражением, необходимо сохранить. Если выражение отрицатольное, то убирая модуль, необходимо знак, стоящий перед выражением, изменить на противоположный.

Билет№8: Методы решения уравнений (неравенств) содержащих знак модуля.

1. Метод возведения обоих частей уравнения в квадрат. Этот метод применяется в том случае если обе части уравнения положительные при любых значениях, например |x+2|=3.

2. Универсальный метод заключается в том, что необходимо найти нули модуля и отметить на координатной прямой полученные точки. Определить знак модуля в каждом интервале, решить уравнения в каждом интервале.

Билет№9: Решение неравенств методом интнрвалов.

План решения неравенства методом интервалов.

Переносим все члены неравенства в одну сторону (например, влево)

Не производя абсолютно никаких преобразований, находим область определения функции стоящей в левой части неравенства, после чего в области определения функции с целью упрощения допускается выполнение тождественных преобразований.

Находим нули функций.

Рисуем пунктиром числовую ось, после чего сплошной линией обводим промежутки оси, принадлежащие области определения функции. На них точки, в которых функция терпит разрыв, отмечаем “пустыми” (не заштрихованными), отмечаем на оси нули (корни) функции:

- “пустыми” (не заштрихованными), точками, если неравенство строгое полными (черными), заштрихованными точками, если неравенство не строгое.

Определяем знак функции на каждом из полученных интервалов (например, подстановкой в выражении функции какого-либо значения из соответствующего интервала).

выбираем для ответа нужные интервалы в соответствии со знаком неравенства.

Записываем ответ.

Билет№10: Функция y=sinx. График, свойства.

y = sin x

график - синусоида

Свойства функции

• Область определения: R

• Область значений: [-1; 1]

• Четность, нечетность: функция нечетная

• Нули: sin x = 0 при x = πn, n Z

• Промежутки знакопостоянства: sin x > 0 при x (2 π n; n + 2 π n), n Z sin x < 0 при x (- π + 2 π n; 2 π n), n Z

• Экстремумы: x_min = + 2 π n, n Z; y_min = -1 x_max = + 2 π n, n Z; y_min = 1

• Промежутки монотонности:

• Функция переодическая с наименьшим положительным периудом 2 π

Билет№11: Функция y=cosx. График, свойства.

y = cos x

график - косинусоида

Свойства функции

• Область определения: R

• Область значений: [-1; 1]

• Четность, нечетность: функция четная

• Период: 2

• Нули:

• Промежутки знакопостоянства:

• Экстремумы: x_min = + 2 n, n Z; y_min = -1 x_max = 2 n, n Z; y_min = 1

• Промежутки монотонности: < LI>

Преобразования графиков y = sinx и y = cosx : Графики функций y = sinx и y = cosx можно получить друг из друга путем параллельных переносов вдоль оси x на /2: <>

Билет№12: Функция y=tgx. График, свойства.

y = tg x

график - тангенсоида

Свойства функции

• Область определения: объединение интервалов

• Область значений: R

• Четность, нечетность: функция нечетная

• Период:

• Нули: y = 0 при x = n, n Z

• Промежутки знакопостоянства:

• Экстремумов нет

• Промежутки монотонности: функция возрастает на каждом интервале области определения

• Асимптоты: x = + n, n Z

Билет№13: Функция y=сtgx. График, свойства.

y = ctg x

график - катангенсоида

Свойства функции

• Область определения: объединение интервалов

• Область значений: R

• Четность, нечетность: функция нечетная

• Период:

• Нули:

• Промежутки знакопостоянства:

• Экстремумов нет

• Промежутки монотонности: функция убывает на каждом интервале области определения

• Асимптоты: x = n, n Z

Преобразования графика y = ctgx : График функци y = ctgx получается из графика у =tgx путем отражения относ. любой из координатныхосей и последующим параллельным переносом вдоль оси x на /2.

Билет№14: Определение тригонометрических функций по окружности и по треугольнику.

Синус угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе: Это отношение не зависит от выбора треугольника ABC, содержащего угол α, так как все такие треугольники подобны. Косинус угла — отношение прилежащего катета к гипотенузе: Так как синус одного острого угла в треугольнике равна косинусу второго, и наоборот. Тангенс угла — отношение противолежащего катета к прилежащему: Котангенс угла — отношение прилежащего катета к противолежащему:

По окружности:

Так как длина отрезка OA равна 1, то Косинусом угла называется отношение абсциссы точки A к длине отрезка OA. Обозначают Так как длина отрезка OA равна 1, то Тангенсом угла называется отношение ординаты точки A к абсциссе точки A. Обозначают (в англоязычной литературе Так как и то Котангенсом угла называется отношение абсциссы точки A к ординате точки A. Обозначают Так как и то Котангенс равен обратному значению тангенса.

Билет №15: y=arccos, y=arcsin определение, свойства.

1.Функция y = arcsin х.

Арксинусом числа m называется такое значение угла x, для которого

Функция y = sin x непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция y = arcsinx является строго возрастающей.

• при

• при

• (область определения),

• (область значений).