2. Метод применения свойств непрерывной функции.

Среди числовых значений, принимаемых на заданном отрезке непрерывной функцией, всегда имеется как наименьшее pначение m, так и наибольшее значениеМ. Множество значений функции заключено между числами m и M. Это основные утверждения положенны в основу поиска множества значений функции в следующем примере.

Пример 5. Найти множество значений функции y = 2sinx + cos2x на отрезке [0; p].

Решение.

D(y) = R. Данная функция на всей области определения непрерывна, поэтому на отрезке [0; p] существуют такие точки, в которых функция принимает свои наименьше и наибольшее значения. Эти точки либо критические, либо концы отрезка.

1) найдем производную данной функции

2) y' = 2cosx - 2 sin2x = 2cosx - 4sinxcosx = 2cosx(1 - 2sinx)

3) Область определения производной R.

3) Найдем ее критические точки. y' = 0. 2cosx(1 - sinx) = 0, это уравнение равносильно совокупности двух уравнений: cosx = 0 и 1 - 2sinx = 0. Решая каждое из них получим: x =  +  n, где n   Z и x = (-1)ⁿ   +  k, где k Z.

Отрезку [0;  ] принадлежат три критические точки: x =  , x = , x = .

Вычисляем значение функции на концах промежутка и в критических точках: y(0) = 1, y( ) = 1, y( ) = 1,5, y( ) = 1,5, следовательно, наименьшее значение функции на отрезке[0;  ] равно 1, а наибольшее значение функции на этом же отрезке равно 1,5. Исходя из выше изложенный утверждений Е(у) = [1; 1,5].

3. Метод приведения к уравнению относительно х с параметром у.

Возможна следующая схема применения этого метода:

Пусть функция задана формулой y = f(x).

2) Рассматриваем функцию как уравнение с параметром у.

3) Выясняем при каких значениях у уравнение f(x) - y = 0 имеет хотя бы один корень. Полученное множество будет множеством значений заданной функции.

Пример 6. найдите множество значений функции  .

Решение.

x² + 5 > 0 при любом х, следовательно, D(y) = R. Рассматриваем формулу:

, как уравнение с параметром у. Это уравнение равносильно уравнению y(x² + 5) = x² - 4x + 4;

x² (y - 1) + 4x + 5y + 1 = 0;

1) Если у = 1, то данное уравнение равносильно линейному уравнению 4х + 6 = 0, которое имеет один корень.

Если у   1, то квадратное уравнение, которое мы получили в результате выше изложенных соображений, имеет корни тогда и только тогда, когда его дискриминант не отрицателен.

D/4 = 4 - (y - 1)(5y + 1)   0;

- 5y² + 4y +5   0;

5y² - 4y - 5   0; Вычислим четверть дискриминанта и корни квадратного трехчлена 5y² - 4y -5:

D/4 = 4 + 25 = 29

y = 2 -   и y = 2 +  .

Таким образом квадратное уравнение имеет корни,если параметр y   [2-  ; 1) и (1; 2 +  ],

Учитывая пункты 1) и 2), делаем вывод, что множество значений изучаемой функции - [2 -  ; 2 +  ].

4. Метод непосредственных вычислений.

В случае, когда область определения функции содержит конечное число значений аргумента или  количество значений не велико, или множество значений аргумента может быть описано с помощью конечного числа формул, так бывает в случае рассмотрения тригонометрических функций, обычно множество значений функции находят путем непосредственных вычислений.

Пример 7. Укажите множество значений функции y = 11 -  .

Решение.

Найдем область определения данной функции. Так как в формуле задающей функцию есть квадратный корень, то согласно определению квадратного корня потребуем, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:

10х - х² -25   0;

-(х - 5)²   0;

(х - 5)²  0; Откуда х = 5. Таким образом область определения данной функции состоит из одного числа, следовательно, множество значений функции состоит из одного числа и Е(у) = {11}.