1 вопрос Множество - это совокупность, класс отличающихся друг от друга объектов, объединенных каким-либо общим свойством. Объекты, входящие в эту совокупность, называются элементами множества. Множества обозначаются заглавными буквами латинского алфавита , а элементы множества- строчными. Приведем примеры множеств. Классы (множества) чисел: N – натуральные числа, Z – целые числа, Q- рациональные числа, R- действительные (вещественные) числа, C – комплексные числа. Виды множеств : конечные множества, бесконечные, пустые, универсальные. Конечные и бесконечные множества в свою очередь подразделяются на неупорядоченные и упорядоченные; неупорядоченные бесконечные – на счетные и несчетные. Существует два основных способа задания неупорядоченных множеств: 1. перечисление всех его элементов; 2. описание характеристического (общего) свойства его элементов. Первым способом задаются конечные множества. Примеры: А – множество чисел, являющихся делителями числа 20: А = {1, 2, 4, 5, 10, 20}. В – список группы: В = {Архипов, Белов,…}. Вторым способом можно задать конечные множества, бесконечные, пустые. Множество элементов. Обладающих характеристическим свойством Р, обозначается: {x | P(x)} и читается так: множество всех х таких, что х обладает свойством Р(х).

 К множеству целых чисел относятся все положительные или отрицательные числа, не являющиеся дробями, и нуль. Например, ...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 ... Множество целых чисел бесконечно. Положительные целые числа также называются натуральными. Записать множество целых чисел можно так Z={... -3 , -2 , -1, 0 , 1 , 2 , 3 ...}

2.Вопрос

Комплексным числом называется выражение вида a + ib, где a и b – любые действительные числа, i – специальное число, которое называется мнимой единицей. Для таких выражений понятия равенства и операции сложения и умножения вводятся следующим образом: Два комплексных числа a + ib и c + id называются равными тогда и только тогда, когда  a = c и b = d. Суммой двух комплексных чисел a + ib и c + id называется комплексное число  a + c + i(b + d). Произведением двух комплексных чисел a + ib и c + id называется комплексное число  ac – bd + i(ad + bc).

Комплексные числа часто обозначают одной буквой, например, z = a + ib. Действительное число a называется действительной частью комплексного числа z, действительная часть обозначается a = Re z. Действительное число b называется мнимой частью комплексного числа z, мнимая часть обозначается b = Im z. Такие названия выбраны в связи со следующими особыми свойствами комплексных чисел.

Заметим, что арифметические операции над комплексными числами вида z = a + i · 0 осуществляются точно так же, как и над действительными числами. Действительно, 

Следовательно, комплексные числа вида a + i · 0 естественно отождествляются с действительными числами. Из-за этого комплексные числа такого вида и называют просто действительными. Итак, множество действительных чисел содержится в множестве комплексных чисел. Множество комплексных чисел обозначается  . Мы установили, что  , а именно 

В отличие от действительных чисел, числа вида 0 + ib называются чисто мнимыми. Часто просто пишут bi, например, 0 + i3 = 3i. Чисто мнимое число i1 = 1i = iобладает удивительным свойством: 

Геометрическая интерпретация комплексного числа

Всякое комплексное число z = (x, y) можно изобразить как точку на плоскости с координатами x и y. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью, при этом ось Ox называется действительной, а Oy -мнимой.

Расстояние r точки z от нулевой точки, т. е. число

называется модулем комплексного числа z и обозначается символом |z|.

Число

называем аргументом комплексного числа z и обозначаем символом θ = arg z. При заданном r углы, отличающиеся на  , соответствуют одному и тому же числу. В этом случае записываем   называем главным значениемаргумента.

Числа r и θ называют полярными координатами комплексного числа z. В этом случае

z = (x, y) = (r cos θ, r sin θ) = r(cos θ + i sin θ)

называется тригонометрической формой комплексного числа.

Если z₁ = (r₁ cos θ₁, r₁ sin θ₁), z₂ = (r₂ cos θ₂, r₂ sin θ₂), то

z₁z₂ = (r₁r₂ cos(θ₁ + θ₂), r₁r₂ sin(θ₁ + θ₂)),

Для n-й степени числа z = (r cos θ, r sin θ) формула приобретает вид zⁿ = (rⁿ cos nθ, rⁿ sin nθ).

При r = 1 соотношение приобретает вид zⁿ = (cos nθ, sin nθ) и называется формулой Муавра.

Корень n-й степени из комплексного числа z имеет n различных значений, которые находятся по формуле

     (1)