Вопрос 4. Общий план исследования функций и построения графиков.

Одна из возможных схем исследования функции и построения ее графика разлагается на следующие этапы решения задачи:

1. Область определения функции.

2. Точки пересечения с осями координат.

3. Четность, нечетность, периодичность функции.

4. Исследование функции на экстремум (интервалы монотонности функции, точки максимума и минимума).

5. Исследование на выпуклость, вогнутость. Точки перегиба.

6. Поведение функции на бесконечности. Точки разрыва функции. Асимптоты.

7. Вспомогательные точки.

8. Построение графика функции.

Пример 1. Построить график функции .

Решение.

1. .

2. Точки пересечения с осями координат: с Ох: , с Оу: .

3. Функция нечетная, т.к. , следовательно, график функции симметричен относительно начала координат. Функция непериодическая.

4. Исследование на экстремум: , при .

₊ – – ₊ у'

х

–3 0 3 у

, .

5. Исследование на выпуклость, вогнутость. Точки перегиба: , вторая производная обращается в нуль в точке .

– + – ₊ у''

х

0 у

Т.П.

Т.П.: .

6. Точек разрыва:

   1. Вертикальные: , т.к. .

   2. Наклонные: , ,

.

3. Горизонтальных асимптот нет, т.к. .

1. Вспомогательные точки: .

8. График функции:

9