Вопрос 2. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба.

Пусть кривая задана уравнением и пусть функция в точке имеет конечную производную , т.е. в точке существует касательная к данной кривой, не параллельная оси оу (ибо угловой коэффициент ее конечен).

у у М₀

М₀

0 х 0 х

Определение. Будем говорить, что график функции , дифференцируемой на интервале , является выпуклым (вогнутым), если график этой функции в пределах интервала лежит не выше (не ниже) любой своей касательной.

Теорема. Если функция имеет на интервале конечную вторую производную и если эта производная положительна (отрицательна ) всюду на этом интервале, то кривая на интервале вогнута (кривая выпукла).

Пример. Найти участки выпуклости и вогнутости кривой .

Решение. ,

при , значит, кривая вогнута на ,

при , значит, кривая выпукла на .

Определение. Точка называется точкой перегиба кривой , если существует окрестность точки такая, что при из этой окрестности выпуклость кривой направлена в одну сторону, а при – в противоположную.

Т еорема (Необходимый признак точки перегиба).

Точка может быть точкой перегиба кривой только если или не существует.

Т еорема (достаточный признак точки перегиба).

Пусть функция в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки , имеет непрерывную вторую производную. Если в точке равна нулю или не существует и при переходе через точку производная меняет свой знак, то точка есть точка перегиба кривой .

Пример. Найти точки перегиба кривой .

Решение: .

; при , при , – абсцисса т.п., т.п. (сделать рисунок).

Вопрос 3. Асимптоты.

Определение. Прямая L называется асимптотой кривой , если при удалении точки М кривой в бесконечность (т.е. расстояние этой точки от начала координат неограниченно возрастает) расстояние от этой точки до прямой L стремится к нулю. (Асимптоты бывают 3-х видов)

1. Вертикальные асимптоты.

Прямая является вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений

или

равно или .

Таким образом, для нахождения вертикальных асимптот надо найти все точки разрыва 2-го рода данной функции. Если точек разрыва нет, то нет и вертикальных асимптот.

Пример: Кривая имеет вертикальную асимптоту , так как

, .

2. Наклонные асимптоты.

Пусть прямая является асимптотой графика функции . Такую асимптоту называют наклонной.

Т еорема. Для того, чтобы график функции имел при наклонную асимптоту , необходимо и достаточно, чтобы существовали оба предела:

(*).

Пример. Найти асимптоты кривой .

Решение.

у 1 0 1 х

Для данной кривой – вертикальная асимптота. , , следовательно, уравнение наклонной асимптоты: .

3. Горизонтальные асимптоты.

Горизонтальная асимптота – частный случай наклонной асимптоты, когда .

Чтобы найти горизонтальные асимптоты графика функции, надо отыскать пределы:

.

Если эти пределы конечные и различные, то прямые будут горизонтальными асимптотами. Если какой-либо из этих пределов не существует или равен , то нет и соответствующей асимптоты.

Пример 1. Найти горизонтальные асимптоты кривой .

Решение.

, , следовательно, – уравнение горизонтальной асимптоты (сделать рисунок).

Пример 2. .

у y=./2 0 x

, следовательно, график функции имеет две асимптоты: для правой ветви , для левой ветви .