4. Расчет разветвленных цепей синусоидального тока символическим (комплексным) методом
Рассматриваются приемы расчета цепей синусоидального тока, содержащих один источник напряжения или тока и смешанное соединение сопротивлений. При расчете таких цепей целесообразно использовать символический метод, основанный на использовании комплексных чисел.
Задача 4.1
Определить
комплексное сопротивление цепи (рис.
4.1) относительно входных зажимов, если
,
,
,
,
,
,
.
Решение
1.
Расчет сопротивлений реактивных
элементов цепи (рис. 4.1) для
:
,
,
.
2. Для упрощения расчетов преобразуем схему (рис. 4.1) к виду, показанному на рис. 4.2. Комплексные сопротивления участков схемы (рис. 4.2):
,
,
.
Error: Reference source not found
|
Error: Reference source not found |
Рис. 4.1 |
Рис. 4.2 |
3. Полное комплексное сопротивление цепи:
.
Задача 4.2
Определить
действующие и мгновенные значения токов
в ветвях схемы (рис. 4.3), если
,
,
,
,
,
,
.
Решение
1.
Расчет сопротивлений реактивных
элементов цепи для частоты
:
,
.
2. Комплекс действующего значения напряжения на входе:
.
3. Преобразуем сопротивления отдельных последовательных участков цепи (рис. 4.3). Расчет токов выполним для преобразованной эквивалентной комплексной цепи (рис. 4.4).
Error: Reference source not found
|
Error: Reference source not found |
Рис. 4.3 |
Рис. 4.4 |
Комплексы полных сопротивлений отдельных последовательных участков цепи:
,
,
.
4. Полное комплексное сопротивление цепи:
.
5. Определяем комплекс действующего значения тока в неразветвленной части цепи:
.
6.
Токи
и
в параллельных ветвях могут быть найдены
через ток
в неразветвленной части:
,
.
7. Действующие значения токов:
,
,
.
8. Мгновенные значения токов:
,
,
.
Задача 4.3
Определить
действующие значения токов в ветвях
схемы (рис. 4.5) и мощность, отдаваемую
источником. Дано:
,
,
,
,
,
,
.
Error: Reference source not found
|
Error: Reference source not found
|
Рис. 4.5 |
Рис. 4.6 |
Решение
1. Определим комплекс действующего значения источника ЭДС:
.
2.
Преобразуем звезду сопротивлений
,
,
,
подключенную к точкам 1, 2 и 3 в эквивалентный
треугольник (рис. 4.6).
Комплексные сопротивления эквивалентного треугольника:
,
,
.
Error: Reference source not found
|
Error: Reference source not found |
Рис. 4.7 |
Рис. 4.8 |
3.
Сопротивление
соединено параллельно с
,
а сопротивление
параллельно
(рис. 4.6) , их общие комплексные сопротивления
равны (рис. 4.7):
,
.
4.
Комплекс тока
(рис. 4.7):
.
Комплексы
напряжений
и
:
,
.
5. Комплексы действующих токов и найдем через комплексы напряжений и (рис. 4.6):
,
.
6. Комплекс действующего тока :
.
7.
Комплекс полного сопротивления
всей цепи и комплекс действующего тока
(рис. 4.8).
Согласно (рис. 4.7) для запишем:
,
откуда получим:
.
Комплекс действующего тока:
.
7. Комплексы действующих значений токов звезды сопротивлений (рис. 4.5) определим из уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа для узлов 1, 2 и 3:
,
,
.
8. Окончательно для действующих значений токов имеем:
,
,
,
,
,
,
.
9. Мощность, отдаваемая источником.
Комплекс полной мощности источника:
,
где
– сопряженный комплекс тока.
Активная мощность источника:
.
Реактивная мощность источника:
.
Задача 4.4
Определить
показания приборов электромагнитной
системы в схеме (рис. 4.9), если показание
амперметра
соответствует току
.
Сопротивления элементов цепи заданы:
,
,
,
,
,
.
Решение
1. Обозначим токи в ветвях цепи в соответствии с установленными в схеме приборами (рис. 4.9).
Error: Reference source not found
|
Рис. 4.9 |
2.
Комплексы действующих значений токов
,
и показания амперметров
и
определим через ток
в неразветвленной части:
.
По первому закону Кирхгофа для узла:
.
Показания
амперметров
и
будут соответствовать действующим
значениям токов:
,
.
3.
Комплекс действующего значения тока
и показание амперметра
найдем через напряжение параллельных
ветвей
:
,
где
.
Показание
амперметра
будет соответствовать действующему
значению тока
:
.
4.
Комплекс действующего значения тока
и показание амперметра
найдем на основании первого закона
Кирхгофа:
.
Показание
амперметра
будет соответствовать действующему
значению тока
:
.
5.
Показание вольтметра
определим
по закону Ома через комплекс напряжения
:
.
Следовательно,
показание вольтметра
будет соответствовать действующему
значению напряжения
участка цепи.
6. Показание вольтметра равно действующему значению напряжения параллельных ветвей. По закону Ома
,
откуда
.
Задача 4.5
Определить
действующие значения токов и напряжений
всех участков цепи (рис. 4.10), применив
метод пропорционального пересчета,
если действующее напряжение на входе
цепи
.
Дано:
,
,
,
,
,
,
.
Error: Reference source not found
|
Рис. 4.10 |
Решение
1. Задаемся комплексным током в удаленной от источника ветви
.
2. Напряжение параллельных ветвей на участке 3, 2:
.
3.
Комплекс тока
:
.
4.
Комплекс тока
найдем по первому закону Кирхгофа:
.
5. Напряжение на участке 1, 3:
.
6. Напряжение на участке 1, 2:
.
7.
Комплекс тока
:
.
8.
Комплекс тока
на входе цепи:
.
9.
Напряжение
:
.
10. Напряжение на входе цепи:
.
11.
Для определения действительных значений
токов и напряжений участков схемы
определим коэффициент пересчета как
отношение модулей действующего напряжения
на входе цепи, заданного по условию
задачи
,
к найденному
:
.
12. Действительные значения токов и напряжений участков схемы для действующих значений:
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Задачи для самостоятельного решения
Задача
4.6. Определить
комплексное сопротивление всей цепи,
схема которой приведена на рис. 4.11. Дано:
,
,
,
,
,
,
.
О т в е т:
.
Задача
4.7. Определить
комплексное сопротивление всей цепи
(рис. 4.12), если сопротивления элементов
цепи при заданной частоте источника
питания:
,
,
,
,
,
.
О т в е т:
.
Error: Reference source not found |
Error: Reference source not found |
Рис. 4.11 |
Рис. 4.12 |
Задача
4.8. Определить
комплексы действующих значений токов
цепи
(рис. 4.13), если мгновенное значение
напряжения на входе схемы
составляет
.
Дано:
,
,
,
.
О т в е т:
,
,
.
Задача
4.9. Определить
показания приборов электромагнитной
системы и активную мощность всей цепи,
схема которой приведена
на рис. 4.14,
если
,
,
,
,
.
О т в е т:
,
,
,
.
Error: Reference source not found
|
Error: Reference source not found
|
Рис. 4.13 |
Рис. 4.14 |
Задача 4.10. В схеме (рис. 4.15) включены приборы электромагнитной системы. Определить показания приборов, если вольтметр
показывает
напряжение
.
Дано:
,
,
,
.
О т в е т:
,
,
,
.
Задача
4.11. Определить
комплекс действующего значения источника
ЭДС на входе цепи (рис. 4.16), если комплекс
тока
.
Дано:
,
,
,
.
О т в е т:
.
Error: Reference source not found
|
Error: Reference source not found |
Рис. 4.15 |
Рис. 4.16 |
Задача
4.12. Установить
мгновенное значение тока источника,
питающего схему (рис. 4.17), если комплекс
действующего значения тока через емкость
составляет
.
Дано:
,
,
.
О т в е т:
.
Error: Reference source not found
|
Error: Reference source not found |
Рис. 4.17 |
Рис. 4.18 |
Задача
4.13. Методом
пропорционального пересчета найти
действующие значения токов в ветвях
схемы, рис. 4.18 (задаться током в ветви с
сопротивлением
,
равным
).
Дано:
,
,
,
,
,
,
,
.
О т в е т:
,
,
,
,
,
,
.