Методы многопараметрического поиска безусловного экстремума фц

1. Метод Хука-Дживса.

Метод основан на применении геометрических конфигураций в виде «шаговых функций» ∆x_i, с помощью которых осуществляется исследующий поиск в окрестности базисной точки.

Он выявляет направление к новому положению базисной точки. Перемещение в направлении новой базисной точки – поиск по образцу.

Если ФЦ уменьшается, то поиск эффективен. Если ФЦ увеличивается, то происходит возврат в предыдущее испытательное положение.

В данном методе, в процессе поиска происходит варьирование параметров , n – количество варьируемых параметров.

, где – ускоряющий множитель.

Признак завершения поиска: для всех ∆x_i выполняется условие ∆x_i^(k)/ ∆x_i⁽⁰⁾≤ , где k – номер текущей итерации; ∆x_i⁽⁰⁾ – начальное значение i-го шага. При невыполнении данного условия текущий шаговый отрезок уменьшается ∆x_i^(k)= ∆x_i^(k)/α, где α – коэффициент уменьшение шага.

В начале задается вектор начальных значений искомых параметров X⁰; – критерий точности поиска; – начальные значения шаговых отрезков, n – количество искомых параметров. >0 – ускоряющий множитель, α>1 – коэффициент уменьшение шага, i=1 – начальное значение счетчика переменных, k=1 – начальное значение счетчика итераций.

Далее выполнятся поиск по выбранному параметру и сравниваются F(x_i+∆_i) или F(x_i+∆_i) c F(x_i). И определяется «удачность» или «неудачность» шага. Затем сравнить i и n. Выполнить поиск по образцу, а затем проверить условие завершения поиска.

2. Метод деформируемого многогранника (Нелдера-Мида)

Стратегия метода использует геометрическую конфигурацию пространственного многогранника.

Вершины – испытательные точки. По результатам анализа происходит перемещение многогранника в направлении экстремума функции. Перемещение выполняется с помощью операций: отражение, растяжение, сжатие. В районе экстремума выполняется операция редукции.

В зависимости от значений ФЦ вводятся следующие обозначения соответствующих вершин:

X^h – наихудшая точка(наибольшее значение ФЦ)

X^s - следующая за наихудшей точка

X^l – наилучшая точка(наименьшее значение ФЦ)

– геометрический центр многогранника без координат вершины X^h.

- точка отражения.

- точка растяжения.

- точка сжатия.

Процедура редуцирования исходной поисковой фигуры представляет собой последовательное «стягивание» вершин многогранника к наилучшей вершине.

Условие завершение поиска:

–стандарт отклонения значений ФЦ в вершинах многогранника от ее значения в .

Задать координатных векторов вершин исходного многогранника, значения коэффициентов α,β,γ.

Задание критерия точности поиска.

Определение координатных векторов X^h, X^s, X^l. Далее определение координатного вектора X⁰.

Затем проверка условия завершения поиска, если не выполнено, то:

Выполнить операцию отражения, затем при необходимости операцию растяжения и операцию сжатия. И далее при необходимости операцию редукции. И затем заново определить координатные векторы.

Методы многопараметрического поиска условного экстремума фц

1. Метод линейного программирования

Математическая модель поиска экстремума ФЦ может быть представлена в виде:

Ограничения:

где n – количество искомых переменных; m – количество зависимостей-ограничений, m<n.

Стратегия: область допустимых решений – выпуклый пространственный многогранник (симплекс). Минимум ФЦ (если он существует) достигается в какой либо вершине этого многогранника. Поэтому достаточно определить значения функции в вершинах и выбрать наименьшее из них. Сложность заключается если таких вершин очень много. Поэтому такие задачи решаются гораздо быстрее симплекс-методом. Алгоритм решения задачи симплекс-методом: найдем какую-либо вершину многогранника и все ребра, выходящие из нее. Далее идем вдоль ребра, по которому функция убывает. Придем в следующую вершину, найдем выходящие из нее ребра и будем повторять процесс пока не придем в такую вершину, где функция вдоль всех ребер, выходящих из этой нее, будет убывать. Это и будет наш минимум функции. Поскольку F(x) – линейная функция, а многогранник выпуклый, то решение всегда сойдется за конечное число шагов.

2. Численные методы определения значений частных производных.

Функции математической модели могут быть достаточно сложными для аналитического дифференцирования. В этих случаях значение частных производных определяются с помощью аппроксимационных разностных формул:

– разностная формула;

– формула центрированной разности.

3. Метод штрафных функций.

В основе метода лежит трансформация исходной поисковой задачи с ограничениями в задачу без ограничений. Решение трансформированной задачи ведется с помощью методов поиска безусловного экстремума.

F(X) – функция цели исходной задачи поиска;

P(X, r^k) – штрафная функция.

Для ограничений-равенств – квадратичный внешний штраф:

Для ограничений-неравенств – внутренний штраф:

Если в математической модели задачи имеются ограничения-равенства

и ограничения-неравенства, то составляется смешанная ФЦ.

Метод наискорейшего спуска

Градиент ФЦ направлен в сторону наибольшего локального увеличения.

Поэтому нужно двигаться в направлении противоположном градиенту ФЦ, то есть в направлении наискорейшего спуска.

– направление наискорейшего спуска.

Переход из x^k в x^k+1:

Отрицательный градиент дает только направление, а не величину шага.

При этом можно использовать разные процедуры метода наискорейшего спуска в зависимости от выбора и определения выражения .

При выборе шага применяются два общих метода. В первом методе при переходе от x^(k) к x^(k+1) целевая функция минимизируется по Во втором случае величина выбирается фиксированной или меняется от шага к шагу.