2. Определитель и обратная матрица.

Непосредственно нахождение определителя требует большого объема вычислений. Вместе с тем легко вычисляется определитель треугольной матрицы: он равен произведению ее диагональных элементов.

Для приведения матрицы к треугольному виду может быть использован метод исключения, т.е. прямой ход метода Гаусса. В процессе исключения элементов величина определителя не меняется (вычитание строки из строки не изменит значения определителя). Может измениться знак благодаря перестановке строк. Следовательно, значение определителя после приведения матрицы А к треугольному виду вычисляется по формуле

det A = + a_kk.

Здесь диагональные элементы a_kk берутся из преобразованной (а не исходной) матрицы. Знак зависит от того, четной (+) или нечетной (–) была суммарная перестановка строк матрицы при ее приведении к треугольному виду. Благодаря методу исключения можно вычислить определители 100-го и большего порядков, и объем вычислений значительно меньший, чем в проведенных ранее оценках.

Перейдем к вычислению обратной матрицы А^-1. Обозначим ее элементы через z_ij. Запишем равенство АА^-1=Е в виде системы n² уравнений

a_ik z_kj = б_ij, б_ij =

б_ij = 1, i=j, i,j = 1, 2, …, n.

0, i j,

Распишем это равенство в развернутом виде.

i=1: a₁₁z₁₁+ a₁₂z₂₁+ a₁₃z₃₁+---+a_1nz_n1=1

J=1 i=2: a₂₁z₁₁+ a₂₂z₂₁+ a₂₃z₃₁+---+a_2nz_n1=0

---------------------------------------------

i=n: a_n1z₁₁+ a_n2z₂₁+ a_n3z₃₁+---+a_nnz_n1=0

i=1: a₁₁z₁₂+ a₁₂z₂₂+ a₁₃z₃₂+---+a_1nz_n2=0

J=2 i=2: a₂₁z₁₂+ a₂₂z₂₂+ a₂₃z₃₂+---+a_2nz_n2=1

---------------------------------------------

i=n: a_n1z₁₂+ a_n2z₂₂+ a_n3z₃₂+---+a_nnz_n2=0

- -----------------------------------------------------

i=1: a₁₁z_1n+ a₁₂z_2n+ a₁₃z_3n+---+a_1nz_nn=0

J=n i=2: a₂₁z_1n+ a₂₂z_2n+ a₂₃z_3n+---+a_2nz_nn=0

---------------------------------------------

i=n: a_n1z_1n+ a_n2z_2n+ a_n3z_3n+---+a_nnz_nn=1

Видно, что если рассматривать j-й столбец обратной матрицы как вектор (z_1j, z_2j,…,z_nj), то он является решением линейной системы с матрицей А и специальной правой частью (в которой на j-ом месте стоит единица, а на остальных – нули):

a₁₁z_1j+ a₁₂z_2j+---+a_1nz_nj=0

------------------------------

a_j1z_1j+ a_j2z_2j+---+a_jnz_nj=1

------------------------------

a_n1z_1j+ a_n2z_2j+---+a_nnz_nj=0

Таким образом, для обращения матрицы нужно n раз решить систему уравнений приведенного вида при j=1, 2, …,n. Поскольку матрица систем одна и та же, то исключение неизвестных при использовании метода Гаусса (прямой ход) проводится только один раз. Для каждой системы делается только обратный ход после некоторых преобразований с использованием всех правых частей.

При хорошей организации вычислений для обращения матрицы этим методом требуется 2n³ арифметических действий, т.е. лишь в трое больше действий, чем решение одной системы уравнений. Это объясняется тем, что при решении линейной системы большая часть вычислений связана с приведением матрицы к треугольному виду, что при обращении матрицы делается только один раз. Обратный ход и преобразование правых частей делается много быстрее.

Поэтому если требуется решить несколько раз линейную систему с одной и той же матрицей, то выгодно матрицу привести к треугольному виду только однажды, используя во всех последующих вычислениях.