2. Метод Гаусса

Наиболее распространенным среди прямых методов является метод исключения Гаусса и его модификации. Он основан на приведении матрицы системы к треугольному виду, что достигается последовательным исключением неизвестных из уравнений системы. Сначала с помощью первого уравнения исключается Х₁ из всех последующих уравнений системы. Затем с помощью второго уравнения исключается Х₂ из третьего и последующих уравнений. Этот процесс, называемый прямым ходом метода Гаусса, продолжается до тех пор, пока в левой части последнего (n-го) уравнения не останется лишь одно неизвестное Х_n, т.е. матрица системы будет приведена к треугольному виду (к такому виду можно привести лишь невырожденную матрицу; при вырождении метод Гаусса не применим).

Обратный ход метода Гаусса состоит в последовательном вычислении искомых неизвестных: решая последнее уравнение, находим единственное неизвестное Х_n. Далее, используя это значение, из предыдущего уравнения вычисляем Х_n-1 и т.д. Последним найдем Х₁ из первого уравнения.

Р ассмотрим пример

– a₃₁/a₁₁ –a₂₁/a₁₁ a₁₁X₁+ a₁₂X₂+ a₁₃X₃ = b₁,

a₂₁X₁+ a₂₂X₂+ a₂₃X₃ = b₂,

a₃₁X₁+ a₃₂X₂+ a₃₃X₃ = b₃.

Для исключения Х₁ из второго уравнения прибавим к нему первое, умноженное на –a₂₁/a₁₁. Затем, умножив первое уравнение на –a₃₁/a₁₁ и прибавив результат к третьему уравнению, также исключим из него Х₁. Получим систему

a₁₁X₁+ a₁₂X₂+ a₁₃X₃ = b₁,

–a₃₂’/a₂₂’ a₂₂’X₂+ a₂₃‘X₃ = b₂’,

a₃₂‘X₂+ a₃₃‘X₃ = b₃’,

–a₁₂(a₂₁/a₁₁)+a₂₂=a₂₂’; –a₁₃(a₂₁/a₁₁)+a₂₃=a₂₃’ a_ij’=a_ij–(a_i1/a₁₁)a_1j,

–a₁₂(a₃₁/a₁₁)+a₃₂=a₃₂’; –a₁₃(a₃₁/a₁₁)+a₃₃=a₃₃’ i,j = 2,3.

– b₁(a₂₁/a₁₁)+b₂=b₂’ a_ij’=a_ij–(a_i1/a₁₁)a_1j,

–b₁(a₃₁/a₁₁)+b₃=b₃’ i = 2,3.

Теперь из третьего уравнения полученной системы нужно исключить Х₂. Для этого умножим второе уравнение на –a₃₂/a₂₂ и прибавим результат к третьему.

a₁₁X₁+ a₁₂X₂+ a₁₃X₃ = b₁,

a₂₂’X₂+ a₂₃’X₃ = b₂’,

a₃₃’’X₃ = b₃’’,

–a₂₃’(a₃₂’/a₂₂’)+a₃₃’=a₃₃’’, –b₂’(a₃₂’/a₂₂’)+b₃’=b₃’’.

На этом прямой ход метода Гаусса закончен, матрица имеет треугольный вид.

Обратный ход начинается с решения третьего уравнения:

Х₃=b₃’’/a₃’’.

Используя это значение, можно найти Х₂ из второго уравнения, а затем Х₁ из первого: X_n=b_n/a_nn; X_i=1/a_ii(b_i– a_ijX_j); i=n–1,…, 1.

X₂=(1/a₂₂’)(b₂’–a₂₃’X₃), X₁=(1/a₁₁)(b₁–a₁₂X₂–a₁₃X₃).

Аналогично строится вычислительный алгоритм для СЛАУ с произвольным числом уравнений.

Следует отметить, что в процессе исключения неизвестных приходится выполнять деление на коэффициенты a₁₁, a₂₂ и т.д. Поэтому они должны отличаться от нуля. В противном случае необходимо соответственным образом переставить уравнения системы. Это нужно предусмотреть в алгоритме.

Одной из модификаций метода Гаусса является схема с выбором главного элемента она состоит в том, что требование неравенства нулю диагональных элементов a_kk, на которые происходит деление в процессе исключения, заменяется более жестким: номер неизвестного, которое исключается из всех оставшихся в k-ом столбце элементов нужно выбрать наибольший по модулю и переставить уравнения так, чтобы этот элемент оказался на месте элемента a_kk. Благодаря выбору наибольшего по модулю ведущего элемента уменьшаются множители, используемые для преобразования уравнений, что способствует снижению погрешностей вычислений. Поэтому метод Гаусса с выбором главного элемента обеспечивает приемлемую точность решения для сравнительно небольшого числа (n<100) уравнений. И только для плохо обусловленных систем решения, полученные по этому методу, ненадежны.

Метод Гаусса целесообразно использовать для решения систем с плотно заполненной матрицей. Все элементы матрицы и правые части системы уравнений находятся в оперативной памяти машины. Объем вычислений определяется порядком системы n: число арифметических операций примерно равно (2/3)n³ (из них половина сложений, половина умножений и n делений).

Рассмотрим подробнее вопрос о погрешностях решения СЛАУ методом Гаусса. Решение системы АХ=В можно записать в виде Х=А^-1В. однако вычисленное по методу Гаусса решение Х* отличается от этого решения из-за погрешностей округления, связанных с ограниченностью разрядной сетки ЭВМ.

Существуют две величины, характеризующие степень отклонения полученного решения от точного. Одна из них ошибка E, равная разности этих значений E=Х–Х*. Другая – невязка r, равная разности между правой и левой частями уравнений при подстановке в них решения: r = В­­–АХ*.

Можно показать, что если одна из этих величин равна нулю, то и другая должна равняться нулю. Однако они не обязаны одновременно быть «малыми». При E 0 обычно r 0, но обратное утверждение справедливо не всегда. В частности, для плохо обусловленных систем при r 0 погрешность решения может быть большой.

Вместе с тем, в практических расчетах, если система не является плохо обусловленной, контроль точности решения осуществляется с помощью невязки. Можно отметить, что метод Гаусса с выбором главного элемента в этих случаях дает малые невязки.