3. Использование интерполяционных формул.

Предположим, что функция f(x), заданная в виде таблицы с постоянным шагом h=x_i-x_i-1, может быть аппроксимирована интерполяционным полиномом Лангранжа

Запишем этот полином для случая трех узлов интерполяции (n=2)

Запишем выражение для производной y^'₀ при х=х₀:

Аналогичные соотношения можно получить и для значений y‘₁, y‘₂ при х=х₁ и х₂, соответственно

Можно записать интерполяционный полином Лагранжа и его погрешность для случая четырех узлов (n=3) и получить аналогичные аппроксимации производных и т.д.

Таким образом, используя значения функции в n+1 узлах можно получить аппроксимацию производных n – го порядка точности. Причем, эти формулы можно использовать не только для узлов х₀, х₁,..., но и для любых узлов x_i, x_i+1,..., соответствующим образом изменяя значения индексов.

Было обращено внимание на то, что при четных n наиболее простые выражения и наименьшие коэффициенты в остаточных членах получаются для производных в средних (центральных) узлах (y‘₁ при n=2, y‘₂ при n=4 и т.д.). Поэтому эти выражения и используются при аппроксимации производных для узла с произвольным номером i, считая его центральным. Запишем их:

Эти выражения называются аппроксимациями производных с помощью центральных разностей и широко используются на практике.

С помощью интерполяционных полиномов Лагранжа можно получить аппроксимации для старших производных. Так при n=2 можно получить, например

.

Аппроксимация вторых производных с помощью центральных разностей при четных n также наиболее выгодны.

Это можно сделать, если эффективно использовать при выводе формул плакаты и другие технические средства.

1.8.4. Улучшение аппроксимации

Как мы видим, порядок точности конечно-разностных соотношений для аппроксимаций производных прямо пропорционален числу узлов, используемых при аппроксимации. Однако увеличением числа узлов эти соотношения становятся более громоздкими, что приводит к существенному возрастанию объема вычислений. Усложняется также оценка точности получаемых результатов. Вместе с тем существует простой и эффективный способ уточнения решения при фиксированном числе узлов, используемых в аппроксимирующих конечно-разностных соотношениях.

Пусть F(x) – производная, которая подлежит аппроксимации; f(x, h) – конечно-разностная аппроксимация этой производной на равномерной сетке с шагом h; R – погрешность аппроксимации, главную часть которой можно записать в виде h^p(), где  - некоторая точка вблизи узла x_i. Данную оценку можно уточнить:

R=h^p(x_i)+O(h^p+1)

Тогда выражение для аппроксимации производной в общем случае можно представить в виде

F(x)=f(x, h)+ h^p(x_i)+O(h^p+1).

Запишем это соотношение в той же точке х при другом шаге h₁=kh:

F(x)=f(x, kh)+ (kh)^p(x_i)+O((kh)^p+1).

Приравнивая правые части этих двух равенств находим выражение для лавной части погрешности аппроксимации производной (O((kh)^p+1) O(h^p+1))

Подставляя данное выражение в первое равенство получаем формулу Рунге:

эта формула позволяет по результатам двух расчетов значений производной f(x, h) и f(x, kh) (с шагом h и kh) c порядком точности р найти ее уточненное значение с порядком точности р+1.

Мы рассмотрим уточнение решения, полученного при двух значениях шага. Предположим теперь , что расчеты могут быть проведены с шагом h₁, h₂,...,h_q. Тогда можно получить уточненное решение для производной F(x) по формуле Ромберга которая имеет очень громоздкий вид. При необходимости ее можно найти в специализированной литературе.