Оператор спина электрона и спиновые функции
В
соответствии с принципами квантовой
механики собственный механический
момент электрона (спин) должен изображаться
линейным самосопряженным (эрмитовым)
оператором. Обозначим операторы проекций
спина на координатные оси через
.
Для определения вида этих операторов
потребуем, чтобы эти операторы подчинялись
тем же правилам перестановки, что и
компоненты орбитального момента
.
Тогда, заменив в (1.25)
на
,
получим
.
(3.22)
Проекция
спина на какое-нибудь направление может
иметь только два значения:
.
Поэтому операторы должны изображаться
двухстрочными матрицами, поскольку
двухстрочная матрица, которая приведена
к диагональному виду, содержит лишь два
диагональных члена и, следовательно,
имеет только два собственных значения.
Можно показать (см. Блохинцев Д.И. Основы
квантовой механики), что в так называемом
- представлении (матрица
– диагональная) матрицы операторов
имеют вид
(3.23)
Образуем теперь оператор квадрата спина электрона. Из (3.23) имеем
.
(3.24)
Состояние
спина характеризуется двумя величинами:
абсолютной величиной
(или
)
и проекцией спина
на
некоторое направление. Первая величина
(
)
предусматривается для всех электронов
одинаковой, поэтому речь может идти
лишь об одной переменной
.
Таким образом, наравне с тремя переменными,
которые определяют движение центра
инерции электрона (
или
),
появляется еще одна переменная
,
которая определяет спин электрона.
Поэтому можно сказать, что электрон
имеет четыре степени свободы.
В
соответствии с этим волновую функцию
,
которая определяет состояние электрона,
следует считать функцией четырех
переменных: три относятся к центру
тяжести электрона, а четвертая – к спину
(
).
Поскольку спиновая переменная принимает
только два значения (
),
вместо одной функции
мы
получим две:
(3.25)
Волновые
функции
и
будут
только в том случае различными, когда
существует реальная связь между спином
и движением центра инерции. Такая связь
существует и представляет собой
взаимодействие магнитного спина с
магнитным орбитальным моментом электрона.
Это взаимодействие обусловливает
мультиплетную структуру спектров.
Для нерелятивистского электрона волновую функцию можно определить таким образом
,
(3.26)
где
через
обозначенная
спиновая функция. Индекс
принимает значение
и
.
Первое значение индекса
означает, что проекция спина на некоторое
выбранное направление равняется
,
второе – проекция спина на это же
направление равняется
.
В заданном состоянии имеют определенные
значения только
и одна проекция
.
Тогда
(3.27)
потому
что в состоянии
проекция
,
и в этом же состоянии не может быть
,
а поэтому соответствующая функция
равняется нулю. Аналогично
(3.28)
Представление волновой функции в виде (3.3.4), а также отсутствие взаимодействия спина и орбитального движения в виде (3.3.5) позволяет рассматривать спин как динамическую переменную, подобную любой другой механической величине.