Тема 8
Уравнения движения механизма с жёсткими звеньями
УРАВНЕНИЕ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА ДЛЯ ОДНОПОДВИЖНОГО МЕХАНИЗМА
|
d |
|
T |
|
T |
Q Q |
|
|
|
|
|||
|
dt q |
q |
C |
|||
|
|
|||||
Q – обобщённая движущая сила
QС – обобщённая сила сопротивления
|
N |
|
|
r |
M(Pci) |
|
|
Q |
. P |
Oi |
i |
|
|||
|
|
||||||
C |
|
|
Ci |
q |
Oi |
|
|
|
i 1 |
|
|
|
q |
||
Т(q) – кинетическая энергия механизма
T 12 a(q)q2.
Если q – линейная координата, то a(q) = m(q) – приведённая масса.
Если q – угловая координата, то a(q) = J(q) – приведённый момент инерции.
УРАВНЕНИЕ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА ДЛЯ ОДНОПОДВИЖНОГО МЕХАНИЗМА
|
d |
|
T |
|
T |
Q Q |
|
|
|
|
|||
|
dt q |
q |
C |
|||
|
|
|||||
Пусть q – угловая координата |
T |
1 |
J (q)q |
2 |
, |
|
|||||||||||
2 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
J(q) – приведённый момент инерции: |
J (q) 2T |
2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
T |
|
1 |
|
|
2 |
, |
d T |
d |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
q |
2 |
J (q)q |
|
|
dt |
J (q) q J (q)q |
J (q)q, |
||||||||||
|
|
|
|
|
dt q |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Уравнение движения для одноподвижного механизма
J (q)q 12 J (q)q2 Q QC .
УРАВНЕНИЕ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА ДЛЯ ОДНОПОДВИЖНОГО МЕХАНИЗМА
Пример
J (q)q 12 J (q)q2 Q QC .
Для вращающегося звена 1
T1 12 q2J10
Для звена 2, совершающего сложное движение (теорема Кёнига):
|
|
1 |
2 |
C 2 |
|
1 |
2 |
|
|
dxC2 |
||
|
|
|
|
|
||||||||
T2 |
|
2 |
m2vC2 |
J2 2 |
|
2 |
q |
m2 |
|
|
|
|
|
dq |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
dy |
2 |
|
|
|
C |
|
|
|
||
|
|
dq |
|
|
|
|
|
Для поступательно движущегося ползуна 3
|
2 |
|
C d |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|||||
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
dq |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
m3vB2 |
1 |
|
dx |
|
2 |
|
|
T3 |
q2 m3 |
|
|
||||||
|
|
|
|
B |
|
||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dq |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
УРАВНЕНИЕ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА ДЛЯ ОДНОПОДВИЖНОГО МЕХАНИЗМА
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
dx |
C |
2 |
|
T1 |
q |
J10 |
, |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||
|
|
q |
|
m |
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
|
|
T |
|
2 |
|
|
|
|
dq |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда:
T T1 T2 T3 12 q2
Пример
J (q)q 12 J (q)q2 Q QC .
2 |
|
dy |
C |
2 |
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
dq |
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
d |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
C |
2 |
|
|
||||
|
|
J |
|
|
|
|
, |
|||
|
2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
dq |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
dxB |
|
2 |
|
T |
|
|
m |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||
|
q |
|
|
|
|
|
||||
3 |
|
2 |
|
|
3 |
|
dq |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приведённый момент инерции J(q):
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
C |
|
|
2 |
m3 |
|
2 |
|
J q J10 m2 xC2 |
|
yC 2 |
|
J2 |
|
2 |
|
xB |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
J q 2 m2 |
xC |
2 xC 2 |
yC |
2 yC |
J2 |
2 2 |
m3 xB xB |
|||||||||
УРАВНЕНИЕ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА ДЛЯ ОДНОПОДВИЖНОГО МЕХАНИЗМА
Пример
J(q) – периодическая функция с периодом 2 ; она представима в виде ряда
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J (q) J0 |
(JC cos q JS sin q). |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
m |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Коэффициенты ряда Фурье |
|
|
J0 |
|
|
|
|
J (2 k / m), |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m k 1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
m |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
JC |
|
|
|
|
|
J (2 k |
/ m)cos(2 k / m), |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m k 1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
m |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
JS |
|
|
|
|
|
|
J (2 k |
/ m)sin(2 k / m). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m k 1 |
|
|||||
Приближенное представление функций |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
J (q) J |
|
|
r |
(J |
|
cos q J |
|
sin q), |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
0 |
|
C |
S |
|
|
|
|
JC sin q JS cos q |
||||||||||
|
|
|
|
|
J q |
|||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
Удовлетворительная аппроксимация для ℓ– й гармоники получается только при условии m 4 ℓ
|
УРАВНЕНИЕ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА |
||
|
ДЛЯ ОДНОПОДВИЖНОГО МЕХАНИЗМА |
||
|
|
r |
|
J(q) |
J (q) J0 |
(JC cos q JS sin q), |
|
|
|
1 |
|
J0 |
|
|
|
0 |
|
2 |
q |
УРАВНЕНИЕ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА ДЛЯ ОДНОПОДВИЖНОГО МЕХАНИЗМА
Пример
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
Q QC . |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
G2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J (q)q |
2 |
J (q)q |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
G3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Левая часть уравнения движения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
C |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
J q J10 m2 xC2 |
|
yC2 |
|
J2 |
2 |
|
m3 xB |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J q 2 m2 xC |
2 xC 2 |
yC |
2 yC 2 J2 |
2 2 |
m3 xB xB |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
Правая часть уравнения движения |
|
|
|
|
Qc |
|||||||||||||||||||
|
A P xB G2 yC2 q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
PxB |
G2 yC2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
Qc – приведённый момент сил сопротивления |
|||||||||||||||||||||||
QC PxB G2 yC2 ; |
||||||||||||||||||||||||||
|
УРАВНЕНИЕ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ДЛЯ ОДНОПОДВИЖНОГО МЕХАНИЗМА |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Пример 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2, J2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
z3, J3 |
|
|
|
J (q)q |
1 J (q)q2 |
Q QC . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z4, J4 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J5 |
|
|
T 1 q2J |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z1, J1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
Q, q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mc |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
z1 |
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
J2 J3 |
|
|
2 |
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
T2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2 |
2 |
|
2 |
q |
|
J3 |
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
z3 |
2 |
|
|
|
|
|
|||
T3 |
|
|
J4 J5 |
|
J4 |
|
|
|
z1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2 |
5 |
2 |
q |
J5 |
|
|
z4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
2 |
|
|
|
|
z z |
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
T T1 |
|
T2 |
T3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 3 |
|
|
||||||||||
|
2 |
q |
|
J1 |
J2 J3 |
z2 |
|
|
J4 J5 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2z4 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
2 |
|
|
|
|
|
z z |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
J4 |
J5 |
|
|
1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
J J1 J2 J3 |
|
|
|
|
z2z4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
УРАВНЕНИЕ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА ДЛЯ ОДНОПОДВИЖНОГО МЕХАНИЗМА
z2, J2 |
z3, J3 |
. |
z4, J4 |
|
|
Q, q |
z1, J1 |
|
Пример 2
J (q)q 12 J (q)q2 Q QC .
J5 |
|
|
Левая часть уравнения движения |
|||||||||||
|
|
|
|
|
z |
2 |
|
|
|
z z |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
5 |
M |
J J1 J2 |
J3 |
|
|
J4 |
J5 |
|
|
const |
|||
|
|
z2 |
|
|
z2 z4 |
|
||||||||
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В механизмах с линейной функцией положения (передачах) J не зависит от q.
Правая часть уравнения движения
|
|
|
|
|
|
|
z1z3 |
|
|
|
z1z3 |
|
|
A M |
C |
|
3 |
q |
M |
C |
|
QC MC |
|
. |
|||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
z2 z4 |
|
|
|
z2 z4 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Уравнение движения |
|
J q Q MC |
z1z3 |
, |
|||||||
z2 z4
Уравнение Лагранжа второго рода может быть использовано для определения обобщенной движущей силы Q