Reshenia_pervogo_varianta
.docx-
Случайная величина ξ принимает значение номера Вашего варианта с вероятностью 1. Составьте закон распределения этой случайной величины, найдите значения , где N – номер варианта, и изобразите график функции распределения.
Решение. Эта задача исключительно на определения. НИЧЕГО сложного в ней нет. Прежде всего, вспомним, что называется законом распределения СВДТ. Это функция, заданная таблицей. В первой строке пишут те значения, которые СВ принимает, во второй – соответствующие вероятности. Так что в нашем случае это будет таблица из одного столбца.
1 |
|
1 |
Найдем значения функции распределения. Заметим, что .
, ,
Построим график функции распределения. Не забудьте ПРАВИЛЬНО подписать оси.
-
Игрок в казино 2 раза ставил на чёт, первая ставка была 1 у.е., вторая – 2 у.е. При выпадении чётного числа игрок получает удвоенную ставку, в противном случае ставка уходит в доход казино. Составьте закон распределения случайной величины – выигрыш игрока. Найдите .
Решение. Будем считать, что выпадение чётного или нечетного числа равновероятны, то есть если событие Ч – выпало чётное число очков, а Н – выпало нечётное число, то . Найдем все возможные значения случайной величины (учтите, что проигрыш – это отрицательный выигрыш), а случайная величина – числовая функция, заданная на элементарных исходах эксперимента. Таким образом, если игрок 2 раза делал ставку, то пространство элементарных исходов эксперимента .
/здесь с минусом стоят его ставки, а с плюсом – получаемый выигрыш/
То есть случайная величина принимает 4 возможных значения. Легко заметить, что , так как, например, . Составим закон распределения (см. выше, что это такое).
– 3 |
– 1 |
1 |
3 |
|
1/4 |
1/4 |
1/4 |
1/4 |
Осталось найти числовые характеристики - математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
,
-
Выведите формулу для вычисления математического ожидания случайной величины ξ, распределенной по биномиальному закону с параметрами , .
Решение. Это мы делали на лекции в общем случае. Если хотите получить максимально возможное число баллов за этот номер, то нужно сразу рассматривать частный случай, а не писать «по памяти» общий вывод, после чего подставлять нужные числа. Нужен именно вывод, а не ответ, пусть даже правильный.
-
Дана плотность распределения случайной величины . Найдите параметр γ, .
Решение. Это мы тоже делали на лекции. Главная суть задания заключается в том, что надо помнить формулу для плотности нормального распределения. Брать неберущиеся интегралы в этом задании не предполагается. Так вот, вспомним, что нормальное распределение (распределение Гаусса) имеет плотность , причем параметры распределения и суть математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины. Так что задача сводится к рассмотрению дроби в показателе степени и выделению полного квадрата. Ответы будут получаться в обратном порядке, то есть сначала дисперсия, потом мат. ожидание и уже следом за ними – параметр γ.
, из чего заключаем, что , , а поскольку , получаем .
-
Дана плотность распределения случайной величины ξ : Найдите параметр .
Решение. В этом задании у Вас будет 2 варианта решения – или честно вычислять интегралы и подбирать сначала допустимое значение для параметра, затем вычислять числовые характеристики, или использовать известные распределения (равномерное или показательное – как повезет). Нужные интегралы я запишу, конечно, но брать не буду, потому что хочу пойти вторым путем, то есть схитрить.
Для вычисления λ можно воспользоваться условием нормировки плотности, то есть .
В нашем случае, учитывая специфику плотности, . Из этого условия Вы найдете λ, если не поленитесь.
Осталось взять еще 2 интеграла: , . Оба интеграла берутся по частям.
Решим эту задачу по-другому, используя те факты, которые были получены на лекции для показательного распределения, потому что данное распределение лишь чуть-чуть от него отличается. Легко заметить, что в этом случае. .
-
Случайная величина распределена по закону . Найти .
Решение. Здесь речь идет о нормальном распределении с параметрами , плотность распределения которого . Используем формулу: .
Таблицу постарайтесь найти и принести с собой. Если что, то несколько штук я возьму, конечно :)).
-
Поезд движется равномерно со скоростью 80 км/час. Случайная величина ξ – показания спидометра в некоторый произвольный момент времени. Эта случайная величина может иметь:
А) распределение Пуассона;
В) биномиальное распределение;
С) геометрическое распределение;
D) равномерное распределение;
Е) показательное распределение;
F) нормальное распределение.
Что можно сказать о параметрах и числовых характеристиках этого распределения?
Решение. Учитывая тот факт, что приборы (в данном случае спидометр) всегда показывают с некоторой степенью точности, а также то, что при стуке колес, возможно, стрелка не является неподвижной, речь идет о нормальном распределении (F). По данным задачи мы можем определить только параметр . Он же равен математическому ожиданию.
-
На рисунке изображены плотности распределений двух случайных величин ξ и η, подчиняющихся нормальному закону с целыми параметрами. Справедливо утверждение:
-
;
-
;
-
;
-
;
-
нет правильного ответа.
Решение. Сначала по графикам плотностей распределений найдем те самые целые параметры распределений. Для случайной величины ξ (красная линия) . Чтобы определить второй параметр σ можно или воспользоваться тем, что плотность имеет максимум при и равен он , но это не очень удобно. Лучше вспомнить правило «трех сигм», по которому с вероятностью 0,997 случайная величина принимает значение в промежутке . По графику видно, что для случайной величины ξ этот промежуток , а поскольку , то . Так что случайная величина ξ имеет распределение . Аналогично, случайная величина η распределена по закону . Значит, , . То есть утверждения А) и С) справедливы, а D) – нет. Проверим утверждение В). По свойству мат. ожидания . Правильный ответ: А), С).
-
Распределение двумерного случайного вектора задано таблицей. Найдите коэффициент корреляции случайных величин и . Сделайте вывод о степени зависимости этих случайных величин.
Решение. Составим законы распределений случайных величин ξ и η, а также найдем их числовые характеристики.
ξ |
– 1 |
0 |
1 |
1/6 |
1/3 |
1/2 |
η |
0 |
1 |
1/3 |
1/6+1/2=2/3 |
,
Чтобы вычислить коэффициент корреляции, нужно еще составить закон распределения произведения случайных величин. По исходной таблице видим, что возможные значения для произведения – это 0, – 1 и 1.
ξη |
– 1 |
0 |
1 |
1/6 |
1/3 |
1/2 |
Осталось вычислить коэффициент корреляции и сделать вывод о степени зависимости случайных величин.
.
Поскольку коэффициент корреляции отличен от нуля, случайные величины наверняка являются зависимыми, но т.к. коэффициент отличается от единицы (по модулю), эта зависимость не сильно напоминает линейную. /Заметим, что если коэффициент корреляции равен нулю, то это еще не значит, что случайные величины независимые/.
-
Дан статистический ряд: .
-
Найдите объем выборки
-
Постройте полигон частот
-
Найдите моду
-
Найдите медиану
-
Найдите межквартильный размах
-
Постройте график эмпирической функции распределения
-
Вычислите выборочное среднее
-
Найдите выборочную дисперсию
-
Найдите исправленную выборочную дисперсию
Решение. Статистический ряд – это множество пар чисел, в которых первое число равно значению выборки, а второе – его частота. То есть, например, число 0 в выборке встречается 10 раз.
-
Объем выборки – число значений в ней (число измерений соответствующей случайной величины). В нашем случае .
-
Полигон частот – многоугольник, вершинами которого являются точки, координаты которых заданы статистическим рядом. Постройте, пожалуйста, сами…
-
Мода – то значение, которое встречается чаще всего. Здесь .
-
Так как у нас 40 значений случайной величины, то медиана – среднее арифметическое 20-го и 21-го значений вариационного ряда (последовательности из всех 40 значений случайной величины, записанных в порядке возрастания). .
-
Межквартильный размах – разность между третьей и первой квартилью. .
-
График эмпирической функции распределения совпадает с графиком функции распределения СВДТ, закон которой задан таблицей (см. ниже). Постройте его, пожалуйста, сами.
– 1
0
3
4
5/40
10/40
15/40
10/40
-
Выборочное среднее
-
Выборочная дисперсия (являющаяся смещенной состоятельной оценкой дисперсии)
-
Исправленная выборочная дисперсия хороша тем, что кроме состоятельности является также несмещенной оценкой дисперсии. Вычисляется она очень просто: , а при больших объемах выборки мало отличается от обычной выборочной дисперсии.
На этом все – остальное скажу на консультации. Удачи!