Работа 5 Решение систем линейных уравнений

Добавил:

Xer1t Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого (бывш. СПбГПУ)

Предмет:

Вычислительная математика

Файл:

i 1,2, , n .

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.07.2019

Размер:

358.31 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

5. Решение систем линейных алгебраических уравнений

5.1 Цель работы

Целью работы является изучение численных методов решения систем линейных уравнений. В настоящей работе рассматривается метод Гаусса и итерационный метод решения систем уравнений.

5.2 Задание

Решить систему уравнений методом Гаусса и методом Зейделя.

3,1x1 1,5x2 x3 10,83

1.1,5x1 2,5x2 0,5x3 9,2x1 0,5x2 4,2x3 17,1

3,2x1 x2 x3 4

2.x1 3,7 x2 x3 4,5

x1 x2 4,2x3 5

2,5x1 3x2 4,6x3 1,05

3.3,5x1 2,6x2 1,5x3 11,466,5x1 3,5x2 7,3x3 17,74

6,1x1 2,2x2 1,2x3 16,55

4.2,2x1 5,5x2 1,5x3 10,551,2x1 1,5x2 7,2x3 16,8

10x1 2x2 6x3 2,8

x 10x 9x 7

5.1 2 3

2x1 7x2 10x3 17

8,714x1 2,18x2 5,684x3 49,91

6.1,351x1 10,724x2 5,224x3 50,172,489x1 0,459x2 6,799x3 32,68

24,21x1 2,42x2 3,85x3 30,24

7.2,31x1 31,49x2 1,52x3 40,953,49x1 4,85x2 28,72x3 42,81


		20,9x1 1,2x2			2,1x3	0,9x4	21,7
			21,2x2		1,5x3	2,5x4	27,46
8.	1,2x1
		2,1x1	1,5x2	19,8x3		1,3x4	20,76

			2,5x2	1,3x3 32,1x4			49,72
	0,9x1

x1 0,42x2 0,54x3

0,66x4

0,3

0,5

0,42x1 x2 0,32x3 0,44x4

0,54x1 0,32x2 x3 0,22x4

0,7

0,9

0,66x1 0,44x2 0,22x3 x4

2x1

4x2

3,25x3 x4

4,84

3x1

3x2

4,3x3 8x4

8,89

10.

x1 5x2 3,3x3

20x4

14,01

20,29

2,5x1 4x2 2x3 3x4

x1 0,17 x2

0,25x3

0,54x4

0,3

0,47 x1 x2

0,67 x3

0,32x4

0,5

11.

0,11x1 0,35x2 x3 0,74x4

0,7

0,55x1 0,43x2 0,36x3 x4

0,9

2x1

0,1x3

2,7

0,5x2 4x3

8,5x4 21,9

12.

0,4x1

0,3x1

x3 5,2x4

3,9

x1 0,2x2 2,5x3 x4

9,9

8,3x1

2,62x2

4,1x3

1,9x4

10,65

3,92x1

8,45x2

7,78x3

2,46x4

12,21

13.

3,77 x1 7,21x2

8,04x3

2,28x4

15,45

1,69x3 6,99x4

8,35

2,21x1 3,65x2

3,81x1

0,25x2

1,28x3

0,75x4

4,21

2,25x1

1,32x2

4,58x3

0,49x4

6,47

14.

5,31x1

6,28x2

0,98x3

1,04x4

2,38

2,28x4

10,48

9,39x1 2,45x2 3,35x3

3x1 x2 x3 2x4 6

15.

5x1 x2 3x3 4x4 12

2x1 x3 x4 1

x1 5x2 3x3 3x4 3

2x1

4x2

3,25x3 x4

4,84

3x1

3x2

4,3x3 8x4

8,89

16.

x1 5x2 3,3x3

20x4

14,01

4x2

2x3 3x4

20,29

2,5x1

		4x1 0,24x2	0,08x3		0,16x4		8
		0,09x1 3x2	0,15x3		0,12x4		9
17.

	0,04x1 0,08x2			4x3	0,06x4	20
		0,02x1 0,06x2		0,04x3 10x4			1

1,2x1 11,2x2 1,5x3 2,5x4 5,3

2,1x1 1,5x2 9,8x3 1,3x4 10,30,9x1 12,1x4 24,610,9x1 71,2x2 0,9x41,3x32,5x2 2,1x

	3,82x1		1,02x2	0,75x3	0,81x4	15,655
			4,53x2	0,98x3	1,53x4	22,705
	1,05x1
19.		0,73x1	0,85x2	4,71x3	0,81x4	23,48

		0,88x1 0,81x2 1,28x3 3,5x4				16,11

			3x1 4x2 5x3 2x4 2
	2x				1			3x							2			4x							3			2x					4		3x								5			0
					1										2										3								4										5
			4x1 6x2 5x4 7 x5																																							0
20.			4x1 6x2 5x4 7 x5																																							0
			2x2 3x3 6x4 4x5 1
			2x2 3x3 6x4 4x5 1

5x			1				3x						2				2x						3				6x					4		3x							5			8
			1										2										3									4									5
		3x2 4x3 5x4 2x5 1
	2x					1			4x							2			3x							3		x				4		5x							5			2
						1										2										3						4									5
																												4x4 x5															3
21. 3x1 2x2 x3																												4x4 x5															3
	x 7 x 2x 4x x 1
				1										2											3								4							5
				1										2											3								4							5
				5x						1	3x									2	4x									3	2x							5	5
										1										2										3								5
	3x1 2x2 5,3x3 2,1x4																																								x5 28,3
	x	1				4x						2				6x						3				4,5x									4		6x							5			36,2
		1										2										3													4									5
							6x2										7,3x3													9x4							3,4x5 24,5
22. 3x1							6x2										7,3x3													9x4							3,4x5 24,5
	2x1										3x2 x3																			4x4								6x5									16,2
	2x1										3x2 x3																			4x4								6x5									16,2

			x					1	4x									2	6,5x											3	x					4		3x								5	4,3
								1										2												3						4										5
3,24x1 2,18x2 5,09x3																																							2,37 x4										1,21x5					28,38
	0,73x										1		3,85x															2	6,23x										3			4,8x						4	5,93x				5	36
											1																	2											3									4					5
																											7,02x3 9,17 x4																						3,58x5					24,48
23. 2,88x1 5,73x2																											7,02x3 9,17 x4																						3,58x5					24,48
	2,1x										3,02x																	0,78x											3,85x										6x			16,23
										1														2														3										4			5
										1														2														3										4			5
									1,2x									1	4,13x												2	0,48x													3		3,24x			5	4.34
																		1													2														3					5

	2x1 x2 4x3 3x4 x5 11
	x1 x2 2x3 x4 3x5 14
	x1 x2 2x3 x4 3x5 14
	4x1 2x2									3x3						3x4 x5										4
24.	4x1 2x2									3x3						3x4 x5										4
3x x 3x 2x 4x 16
				1			2						3						4						5
				1			2						3						4						5
	x	1	3x				2		x			3	4x					4	4x					5	18
		1					2					3						4						5
				x1 3x2 2x3 2x5																			0,5
	3x		1		4x			2		5x				3		x			4	3x					5	5,4
			1					2						3					4						5
	2x1					5x2					3x3						2x4						2x5 5
25.	2x1					5x2					3x3						2x4						2x5 5
				x2		2x3					5x4						3x5						7,5
				x2		2x3					5x4						3x5						7,5
2x				1	3x				2	2x					3	3x					4	4x				5	3,3
				1					2						3						4					5

5.3 Теоретические сведения

Система линейных алгебраических уравнений имеет вид:

a11 x1 a12 x2 a1n xn b1

a22 x2 a2n xn

a21 x1

или в матричной форме:

A X B ,

где:

a11

a12

a1n

a2n

a21

a22

, X

an2

an1

ann

(5.1)

	b1

	b2
	B		.



	bn

Произвольная система уравнений вида (5.1) в общем случае может иметь единственное решение, не иметь решения или иметь бесконечное множество решений.

Методы численного решения системы линейных уравнений подразделяются на точные (конечные) и итерационные (бесконечные). Точные методы дают решение с помощью конечного числа арифметических операций, которые можно определить заранее. Итерационные методы дают решение системы уравнений как предел бесконечной последовательности приближений. На практике итерационный процесс прекращается при достижении заданной точности решения.

5.3.1 Метод исключения (метод Гаусса)

Относится к точным методам. Решение системы из n уравнений выполняется в два этапа.

На первом этапе (прямой ход) исходная система уравнений (5.1)

приводится к эквивалентной системе уравнений с треугольной матрицей
коэффициентов. Прямой ход состоит из	n 1	шагов. На k -том шаге

соответствующее уравнение вычитается из оставшихся уравнений с целью

исключить k -тое неизвестное.

Введем n 1 множителей:

ai1

i 2,3, , n

a11

Вычтем из каждого i -го уравнения

первое, домноженное

на Mi .

Предполагается, что a11

не равно нулю. Введем обозначение:

a 1

;

i 2,3, , n;

1 j

b 1

b ;

i 2,3, , n

Для всех уравнений, начиная со второго, будут выполняться равенства

a 1 0;

i 2,3, , n.

Преобразованная система уравнений запишется в следующем виде:

a11 x1 a12 x2 a1n xn b1

a22

a2n xn b2

an2

ann

xn bn

Таким же образом можно исключить x2 из оставшихся n 2 уравнений,

затем x3

из оставшихся n 3 уравнений и т.д. На k -том этапе исключаем xk с

помощью множителей

M k 1

a k 1

, i k 1, k 2, , n

a k 1

Предполагается,

что

a k 1

не

равны нулю. Новые

значения

коэффициентов системы уравнений и правых частей вычисляются по зависимостям:

a k a k 1 M k 1 a k 1 ;				i k 1, k 2, , n;
ij	ij	i	kj
b k b k 1 M k 1 b k 1 ;				i k, k 1, , n
i	i	i	k

Индекс k принимает последовательные целые значения от 1 до n 1

включительно и означает номер того уравнения, которое вычитается из остальных, а также номер того неизвестного, которое исключается из

оставшихся n k уравнений. При	k n 1 из последнего уравнения
исключается xn 1 неизвестное.

В результате выполнения прямого хода получается эквивалентная система линейных уравнений с треугольной матрицей коэффициентов вида:

a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
1	x2	1		1
a22	x2	a2n xn		b2



		n 1	xn	n 1
		ann	xn	bn

Точность решения системы линейных уравнений методом Гаусса в значительной степени зависит от значений коэффициентов Mi при исключении

неизвестных. При минимальных абсолютных значениях Mi точность решений

будет максимальной.

Минимальные

значения Mi

имеют место при

максимальных абсолютных значениях akk .

Выбор максимального коэффициента

akk

осуществляется перестановкой

уравнений в системе.

При этом необходимо добиться того, чтобы

a k 1

На втором этапе (обратном ходе) решения системы линейных уравнений

находятся значения неизвестных по формулам:

b n 1

a n 1

n,n

b n 2

a n 2 x

n 1

n 1,n

n 1

a n 1

n,n

x j

b j 1 a j 1 x

a j 1 x

j 1

j n 2, n 3, ,1

j ,n

j , j 1

a j 1

j , j

Общее число арифметических операций S ,необходимых для решения системы уравнений (5.1) методом Гаусса определяется по формуле:

S 23 n n 1 n 2 n n 1 ,

или для больших n :

S13 n3 .

5.3.2Итерационные методы решения систем линейных уравнений

Систему (5.1) преобразуем к итерационному виду.

Возможны два способа преобразования системы. Первым способом система преобразуется к виду:

a12

a13

a1n

a11

a21

a23

a2n

(5.2)

a22

an1

an2

an n 1

n 1

Предполагается,

что

ann 0.

матричном

виде систему

(5.2) можно

записать:

X A/ X B/ ,

где a

aij

, i j;

, i, j 1,2, , n .

aii

Задается

начальное

приближение

X 0 .

Следующее

приближение

вычисляется из соотношения:

X 1 A/ X 0 B/ .

Затем вычисляется второе приближение:

X 2 A/ X 1 B/

Любое последующее приближение вычисляется по формуле:

X k 1 A/ X k B/

k 0,1,

Вторым способом система уравнений преобразуется к виду:

b a x a x a x x

a11

11 1

b a

x a

a22

21 1

(5.3)

bn an1 x1 an2 x2 ann xn xn

ann

В матричном виде систему (5.3) можно записать в виде:

X A// X B// X ,

где a//

aij

, i j;

b//

, i, j 1,2, , n .

aii

Любое приближение вычисляется по формуле:

X k 1

X k A// X k B//

k 0,1, .

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не будет

выполнено соотношение:

Max

X k 1

X k

i 1,2, , n ,

где - требуемая точность вычислений. С левой стороны неравенства подразумевается максимальное значение абсолютных разностей для всех неизвестных.

Вместо абсолютных разностей можно в качестве критерия окончания итерационного процесса использовать относительные разности:

Итерационный процесс решения системы линейных уравнений будет сходящимся, если все собственные значения матрицы A/ будут меньше единицы.

В качестве критерия сходимости можно использовать оценки нормы матрицы:

n
	aij/	1,	i 1,2, , n
j 1
n
aij/		1,	j 1,2, , n

5.3.3Метод Зейделя

Впроцессе итерации значения неизвестных вычисляются

последовательно от	x1	до xn . Зейдель предложил при вычислении нового
k 1 -ого значения	неизвестной использовать только что полученные
уточненные значения x1		до xk . Тогда система (5.3) запишется в виде:

Такой способ сокращает количество итераций.

5.4 Пример выполнения работы

Решить систему уравнений:

5.4.1 Решение системы уравнений методом Гаусса

Ввод коэффициентов системы:

Задание количества уравнений:

Определитель системы:

Так как определитель системы не равен нулю, она имеет единственное решение.

5.4.1.1 Прямой ход метода Гаусса (исключение неизвестных)

Исключим первое неизвестное из второго и третьего уравнений:

Матрица коэффициентов a и вектор b после исключения первого неизвестного:

Исключим второе неизвестное из третьего уравнения:

Матрица коэффициентов a и вектор b после исключения второго неизвестного:

5.4.1.2 Обратный ход метода Гаусса

Решение системы:

Программа, реализующая алгоритм решения системы уравнений методом Гаусса.

Решение системы уравнений с помощью программы:

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Вычислительная математика

#
26.11.2019410.2 Кб12Работа 2 Метод наименьших квадратов.pdf
#
26.11.2019381.58 Кб21Работа 3 Интерполяция дискретных данных.pdf
#
19.07.2019381.58 Кб12Работа 3 Интерполяция дискретных данных.pdf
#
26.11.2019405.3 Кб17Работа 4 Решение алгебраических уравнений.pdf
#
19.07.2019405.3 Кб12Работа 4 Решение алгебраических уравнений.pdf
#
19.07.2019358.31 Кб16Работа 5 Решение систем линейных уравнений.pdf
#
26.11.2019358.31 Кб10Работа 5 Решение систем линейных уравнений.pdf
#
19.07.2019362.75 Кб15Работа 6 Решение алгебраических уравнений.pdf
#
26.11.2019362.75 Кб9Работа 6 Решение алгебраических уравнений.pdf
#
19.07.20193.93 Mб12Экз.docx
#
26.11.20193.93 Mб41Экз.docx