2. Число ребер в планарном графе. Планарность графов и .

Следствие 13.6. Для связного планарного (n, m)-графа m  3n – 6 при n  3.

 Не теряя общности, будем считать, что G — плоский граф. Прежде всего заметим, что всякое ребро плоского графа либо разделяет две различные грани, либо является мостом (см. свойство 4). Поскольку G — граф без петель и кратных ребер, то всякая грань ограничена по крайней мере тремя ребрами (исключение составляет лишь случай, когда G — дерево с тремя вершинами, но для такого графа неравенство m  3n – 6 очевидно). Поэтому число 3f является оценкой снизу удвоенного числа ребер графа G, т. е. 3f  2. Отсюда, учитывая формулу Эйлера f = m – n + 2, получаем требуемое неравенство. 

Утверждение 13.7. Граф K₅ не планарен.

 Действительно, для графа K₅ имеем , . Поэтому неравенство превращается в неверное: 9 > 10, т. е. граф K₅ не может быть планарным. 

Утверждение 13.8. Граф K_3,3 не планарен.

 Для рассматриваемого графа n = 6, m = 9. Поэтому, если бы он был планарным, то для любой его плоской укладки выполнялось бы f = 5 согласно следствию 13.5. В то же время всякая грань двудольного графа K_3,3 должна быть ограничена по меньшей мере четырьмя ребрами. Следовательно, 2m  4f, т. е. . Противоречие. 

БИЛЕТ 21

1. Числа Стирлинга второго рода. Второй способ рекуррентного вычисления чисел Стирлинга второго рода.

Число разбиений m-элементного множества на k непустых подмножеств обозначим через S(m, k) и будем называть его числом Стирлинга второго рода.

Утверждение 8.1. А. S(m, m) = 1 при m  0.

Б. S(m, 0) = 0 при m > 0.

В. S(m, k) = S(m –1, k – 1) + kS(m –1, k) при 0 < k < m.

 Пункты «А» и «Б» очевидны. Для доказательства пункта «В» заметим, что множество R всех разбиений X = {x₁, x₂,…, x_m} на n частей распадается на множества R₁ = { R | одноэлементное множество {x_m} является элементом разбиения } и R₂ = R \ R₁. Очевидно, | R₁ | = S(m – 1, k – 1). Поставим в соответствие каждому разбиению R₂ разбиение ’ множества X \ {x_m}, полученное из  удалением элемента x_m из той части, которой он принадлежал. Поскольку каждое разбиение ’ множества X \ {x_m} будет поставлено в соответствие ровно k разбиениям множества X (образованным из ’ путем добавления x_m к какой-нибудь из k частей), то | R₂ | = kS(m – 1, k). 

Доказанные равенства позволяют вычислять значения по треугольнику Стирлинга для больших значений m и k. В таблице 3 приводятся числа Стирлинга второго рода для 0  m, k  8 .

m \ k	0	1	2	3	4	5	6	7	8
1	0	1
2	0	1	1
3	0	1	3	1
4	0	1	7	6	1
5	0	1	15	25	10	1
6	0	1	31	90	65	15	1
7	0	1	63	301	350	140	21	1
8	0	1	127	966	1701	1050	266	28	1

В этой таблице каждое значение, кроме крайних можно получить как сумму чисел, находящихся над ним, а именно числа, расположенного в точности над ним и умноженного на k, и числа над ним с левой стороны.

Утверждение 8.2. Для любого k  2

 Пусть (X₁, X₂, …, X_k ) — произвольное разбиение X на k непустых подмножеств. Пусть x_m  X_k

(можно взять и другой элемент, это не существенно). Всего имеется возможностей выбрать подмножество X_k с | X_k | = r и x_m  X_k . После этого останется S(m – r, k – 1) возможностей разбить оставшееся множество X \ X_k на k – 1 непустых подмножеств. Следовательно,

