1. Реберное хроматическое число. Теорема Визинга.

Реберной k-раскраской графа G называется функция , ставящая в соответствие каждому его ребру e число (e) из множества . Если  — реберная раскраска и (e) = c, то говорят, что ребро e окрашено в цвет c. Множество всех ребер, окрашенных в фиксированный цвет, называют реберным цветным классом. Реберная раскраска называется правильной, если смежные ребра имеют разные цвета. Граф, допускающий правильную реберную k-раскраску, называется реберно k-раскрашиваемым. Минимальное число k, при котором граф G является реберно k-раскра-шиваемым, называется хроматическим индексом (или хроматическим классом, реберным хроматическим числом) графа G и обозначается через ’(G). Если ’(G) = k, то граф G называется реберно k-хроматическим.

Поскольку ребра любого графа G смежны тогда, когда смежны соответствующие вершины реберного графа L(G), то ’(G) можно определить как вершинное хроматическое число графа L(G), т. e. ’(G) = ( L(G)).

Поскольку при любой правильной раскраске графа G ребра, инцидентные одной вершине, имеют различные цвета, то ’(G)  (G).

Следующая теорема дает очень точные оценки хроматического индекса графа.

Теорема 15.5. (В.Визинг, 1964 г.) Для любого графа G верны неравенства (G)  ’(G)  (G) + 1.

Теорема 15.6. (Д. Кениг, 1931) Для любого двудольного графа G верно равенство ’(G) = (G).

2. Рекуррентные соотношения. Возвратные последовательности.

Рекуррентным соотношением, рекуррентным уравнением или рекуррентной формулой называется соотношение вида , которое позволяет вычислять все члены последовательности , если заданы ее первые k членов.

В случае, когда рекуррентное соотношение линейно и однородно, т. е. для некоторого k найдутся такие константы , ( ), что выполняется соотношение вида

(2)

то последовательность называется возвратной.

Примеры.

1. Формула задает арифметическую прогрессию.

2. Формула определяет геометрическую прогрессию.

Утверждение 9.1. Множество U последовательностей удовлетворяющих (2), является линейным пространством размерности k.

 Покажем только, что множество всех бесконечных числовых последовательностей с операциями сложения (покомпонентно) и умножения на число (покомпонентно) является линейным (векторным) пространством. Чтобы показать, что последовательности , удовлетворяющие (2), образуют его линейное подпространство, достаточно убедиться в замкнутости множества таких последовательностей относительно операций сложения и умножения на число. Если и удовлетворяют (2),  и  — любые действительные числа, а n — произвольное неотрицательное целое, то для последовательности a + b имеем

Следовательно, U — линейное пространство. 

Многочлен

(3)

называется характеристическим для возвратной последовательности . Корни многочлена P(x) называются характеристическими. Например, характеристическим многочленом для последовательности Фибоначчи будет P(x) = x² + x – 1.

Множество всех последовательностей, удовлетворяющих данному рекуррентному соотношению, называется общим решением.

Теорема 9.2. Пусть  — корень характеристического многочлена (3). Тогда последовательность , где — произвольная константа, удовлетворяет соотношению (2).

2) Если — простые корни характеристического многочлена (3), то общее решение рекуррентного соотношения (2) имеет вид

где — произвольные константы.

3) Если — корень кратности , характеристического многочлена (3), то общее решение рекуррентного соотношения (2) имеет вид

где — произвольные константы.

Зная общее решение рекуррентного уравнения (2), по начальным условиям можно найти неопределенные постоянные и тем самым получить решение уравнения (2) для данных начальных условий.

БИЛЕТ 18

1. Раскраска плоских графов. Бихроматичность плоского графа.

Связный плоский мультиграф без мостов называется картой. Грани карты, имеющие общее ребро, называются смежными. Функция f, ставящая в соответствие каждой грани  карты натуральное число f(){1, 2, …, k} — цвет грани  — называется k-раскраской, если цвета смежных граней различны. Карта называется k-раскрашиваемой, если для нее существует k-раскраска.

Гипотеза четырех красок: всякая карта 4-раскрашиваема.

Часто пользуются другой формулировкой гипотезы четырех красок: всякий планарный граф 4-раскрашиваем.

Поскольку планарный граф по определению изоморфен некоторому плоскому, то эквивалентность этих двух формулировок гипотезы четырех красок вытекает из следующей теоремы.

Теорема 15.7. Карта G является k-раскрашиваемой тогда и только тогда, когда геометрически двойственный граф G^* вершинно k-раскрашиваем.

Согласно теореме Кёнига (G) = 2 для непустого графа G тогда и только тогда, когда он не содержит циклов нечетной длины, откуда несложно получить следующее утверждение.

Утверждение 15.8. Плоский двусвязный граф является бихроматическим тогда и только тогда, когда граница каждой его грани содержит четное число ребер.

 Достаточно доказать, что плоский двусвязный граф, граница каждой грани которого состоит из четного числа ребер, является двудольным. Рассмотрим произвольный простой цикл C такого графа. Этот цикл делит плоскость на две части — внутреннюю (по отношению к циклу) и внешнюю. Считаем, что сам цикл принадлежит каждой из частей. Пусть внутренняя часть плоскости содержит грани ₁, ₂,…, _k с числом ребер в их границах l₁, l₂,…, l_k соответственно. Так как любое из чисел l_i четное, то их сумма также четная. Но каждое ребро, не принадлежащее циклу C, входит в эту сумму дважды, откуда следует, что длина цикла C четная. Из теоремы 9.1 следует, что рассматриваемый граф является двудольным.

Аналогичное утверждение верно и для односвязных графов, только в этой ситуации каждый мост, входящий в границу грани, учитывается дважды. 

Утверждение 15.9. Карта G является 2-раскрашиваемой тогда и только тогда, когда граф G эйлеров.

2. Полиномиальная формула.

Теорема 11.3. (полиномиальная теорема)

 Перемножим последовательно (a₁ + a₂ +…+ a_k) n раз. Тогда получим kⁿ слагаемых вида d₁d₂…d_n, где каждый множитель d_i равен или a₁, или a₂, ..., или a_k. Обозначим через B(r,…, r_k) совокупность всех тех слагаемых, где a₁ встречается множителем r₁ раз, a₂ — r₂ раз, ..., a_k — r_k раз. Согласно теореме 11.2, число таких слагаемых равно . Отсюда сразу следует утверждение теоремы. 

БИЛЕТ 19

1. Матрицы, связанные с графами. Изоморфизм графов.

Рассмотрим матричные способы представления графов. Элемент матрицы M, занимающий позицию (i, j), будет обозначаться далее символом M_{i j}. Матрица, каждый элемент которой равен 0 или 1, называется бинарной.

Пусть VG = {1,2,…, n}. Определим бинарную n  n-матрицу A = A(G), положив

A(G) называется матрицей смежности графа G. Это симметрическая матрица с нулями на диагонали. Число единиц в строке равно степени соответствующей вершины.

Очевидно, что соответствие f : G  A(G) определяет взаимно однозначное соответствие (биекцию) множества графов порядка n на множество бинарных симметрических n  n-матриц с нулевой диагональю.

Аналогично определяются матрицы смежности A мульти- и псевдографов: A_{i j} равно числу ребер, соединяющих вершины i и j (при этом петля означает два ребра).

Так же определяется матрица смежности A(G) ориентированного графа G:

Здесь AG — множество дуг орграфа G. Матрица A может не быть симметричной. Очевидно, что любая квадратная бинарная матрица является матрицей смежности некоторого ориентированного графа. На рис. 6.1 изображен ориентированный псевдограф и его матрица смежности.

Абстрактный граф приводит к различным матрицам смежности в зависимости от нумерации вершин. Посмотрим, как связаны между собой эти матрицы. Пусть G и H — помеченные графы порядка n и G  H. Это означает, что G и H различаются только нумерацией вершин, т. е. существует подстановка на множестве вершин, сохраняющая смежность: вершины u и v тогда и только тогда смежны в G, когда их образы s(u) и s(v) смежны в H. Положив A(G) = A, B(G) = B, получаем

B _s(i)s(j) = A_{i j}, i = 1, 2,…, n j = 1, 2,…, n.

Тем самым доказано

Утверждение 6.1. Графы изоморфны тогда и только тогда, когда их матрицы смежности можно получить друг из друга одинаковыми перестановками строк и столбцов.

Это утверждение верно также для мультиграфов, псевдографов и ориентированных графов.

Определим матрицу графа, отражающую инцидентность вершин и ребер графа. Пусть G есть (n,m)-граф, VG = {1,2,…,n}, EG = {1,2,…,m}. Определим бинарную n  m -матрицу I = I(G):

Матрица I(G) называется матрицей инцидентности графа G. В каждом ее столбце ровно две единицы, равных столбцов нет. Как и выше, соответствие f : G  I(G) является биекцией множества помеченных (n,m)- графов с занумерованными ребрами на множество в n  m-матриц, удовлетворяющих описанным условиям.

Для ориентированных графов определение матрицы инцидентности I видоизменяется:

Аналогично утверждению 6.1 получается

Утверждение 6.2. Графы (орграфы) изоморфны тогда и только тогда, когда их матрицы инцидентности получаются друг из друга произвольными перестановками строк и столбцов.