17. Силовой расчет механизмов с учетом трения в кп методом последовательных приближений. Пример: кривошипно-ползунный механизм

В первом приближении связи считают идеальными, силами трения пренебрегают. По найденным реакциям находят силы трения и повторяют силовой расчет, считая силы трения известными. Вычисляют следующие приближения до тех пор, пока разница между значениями сил реакций, найденных в последующем и предыдущем приближениях, не окажется меньше допустимого значения.

Пример. Будем считать массу шатуна 2 пренебрежимо малой. При сделанном допущении ползун 3 становится статически определимым.

Первое приближение. Полагая силы трения = нулю, запишем уравнения кинетостатики для ползуна:

Реакции в первом приближении:

(5.18)

Сила трения F, действующую на ползун со стороны стойки: , (5.19),где f – коэф. трения в поступательной паре.

Второе приближение.

Составим уравнения кинетостатики для ползуна, полагая, что сила трения F известна.

Отсюда найдем силы реакции во втором приближении: (5.21)

Из сравнения выражений (5.21) и (5.18) видно, что значения всех сил реакций изменились:

а момент стал ненулевым.

Полагая, что , можно найти силу трения и, считая ее известной, найти следующее, третье приближение, и т.д.

18. Силовой расчет механизмов с учетом трения в КП. Решение нелинейных уравнений силового анализа. Пример: кривошипно-ползунный механизм. Режимы: тяговый, инверсный тяговый, оттормаживания, самоторможения.

Система уравнений кинетостатики для ползуна:

–R₂₃cosα + (P + Ф₃) + fR₀₃signR₀₃ = 0,

R₂₃sinα + R₀₃ – G₃ = 0, (5.25)

–R₀₃a + fR₀₃h = 0

Здесь а – расстояние от оси шарнира В до линии действия силы реакции ,

Из второго уравнения (5.25) выразим R₂₃: .

Подставляя R₂₃ в первое уравнение :

(5.26)

	«малое» трение: f < ctgα	«большое» трение: f > ctgα
G3ctgα – (P + Ф3) < 0	тяговый режим	решения не существует режим самоторможения
G3ctgα – (P + Ф3) > 0	инверсный тяговый режим.	два решения режим оттормаживания

Вариант 1.2. «Большое» трение; рабочая нагрузка P и сила инерции Ф₃ направлены против скорости ползуна. Уравнение (5.26) не имеет решения. Действительно, положив R₀₃ > 0 (sign R₀₃ = + 1), получим ,т.к. числитель дроби отрицательный, а знаменатель – положительный. При R₀₃<0 (sign R₀₃ = – 1) имеем , поскольку числитель и знаменатель дроби отрицательные. Получающееся противоречие показывает, что решения не существует. Этот случай соответствует режиму самоторможения, при котором в рассматриваемом положении механизма и при заданном направлении силы движение вообще становится невозможным.

Вариант 2.2. «Большое» трение; силы P и Ф₃ направлены против оси х («помогают» движению ползуна). Тогда уравнение (5.26) имеет два решения. Действительно, полагая, что R₀₃ > 0 (sign R₀₃ = + 1), имеем:

,поскольку числитель и знаменатель дроби положительные. Положив R₀₃ < 0 (sign R₀₃ = – 1), получаем второе решение , поскольку числитель положительный, а знаменатель отрицательный. В этом случае мы имеем дело с режимом оттормаживания: при «большом» трении движение возможно в том случае, когда вектор Р + Ф₃ направлен так же, как и скорость ползуна. Существование двух режимов оттормаживания является одним из парадоксов Кулонова трения. Установить, какое из решений будет фактически осуществляться, строго говоря, в рамках модели механизма с жесткими звеньями невозможно. Можно только показать, что некоторые «физические» соображения свидетельствуют в пользу первого решения. при увеличении коэффициента трения f следует ожидать увеличения модуля силы трения |F| , т.е. должно быть d|F|/df>0. Исследуя первое решение, получаем

,

поскольку G₃ctgα – (P + Ф₃) > 0. Следовательно,

.

Для второго решения находим

,

поскольку ctgα – f < 0. Следовательно,

.

Поэтому второе решение является с физической точки зрения «недостоверным».

Сведем все найденные решения в табл. 5.4. Для удобства сравнения результатов, полученных двумя методами, разделим числитель и знаменатель дроби выражения (5.26) на ctgα.

Таблица 5.4

	«Малое» трение: f < ctgα	«Большое» трение: f > ctgα
G3ctgα – (P + Ф3) < 0	Тяговый режим	Нет решения. Режим самоторможения
Метод последовательных приближений		–
G3ctgα – (P + Ф3) > 0	Инверсный тяговый режим	Режим оттормаживания
Метод последовательных приближений	ּ[+ +]	–

Определив силы реакций, действующие на ползун, легко найти остальные реакции, возникающие в механизме. Так, рассматривая равновесие звена 2, получаем (m₂  0): R₁₂ = R₂₃, а уравнения кинетостатики для звена 1 дают (рис. 5.11): , Q = R₁₂H, где H – расстояние от точки О до линии АВ.