39Замкнутые системы управления с обратными связями

Для повышения точности систем с программным управлением используются обратные связи. Структурная схема системы с программным управлением с обратной связью показана на рис. 9.3. Здесь на выходе двигателя (на валу ротора) устанавливаются измерительные устройства (датчики), измеряющие угол поворота и угловую скорость ротора и сравнивающие значения и с их программными значениями. Разности и представляют собой ошибки по координате ротора и его угловой скорости. Сигналы и подаются на вход системы обратной связи (СОС), представляющий собой регулятор – устройство, формирующее сигнал , складывающийся с сигналом программного управления , подаваемым на вход двигателя. Закон управления, связывающий сигнал обратной связи с ошибками и , обычно выбирается в форме

, (9.25)

где и – положительные коэффициенты, называемые коэффициентами усиления по координате и по скорости. Из формулы (9.25) видно, что знак корректирующего сигнала противоположен знакам ошибок, то есть при , , корректирующий сигнал уменьшает величину входного параметра и тем самым уменьшает скорость двигателя, а следовательно, и величину ошибок. При , происходит увеличение скорости двигателя, что также приводит к уменьшению ошибок. Таким образом, формирование закона управления в соответствии с (9.25), вообще говоря, направлено на уменьшение динамических ошибок, а следовательно, на повышение точности отработки системой программного движения. Обратная связь, построенная по такому принципу, называется отрицательной. Система, снабженная обратной связью, соединяющей ее выход со входом, называется замкнутой.

Замкнутая система, показанная на рис. 9.3 остается работоспособной и в том случае, если сигнал на ее вход не подается. В этом случае сигнал на входе двигателя формируется как реакция СОС на рассогласование между законом движения , измеренным на входе двигателя, и программным законом , введенным на вход обратной связи. В принципе при отсутствии ошибки (,) двигатель неподвижен, но это немедленно приводит к появлению отрицательной ошибки, вызывающей положительный сигнал на входе двигателя. Система, построенная по такому принципу, называется следящей.

Система, показанная на рис. 9.3, измеряет ошибку на входе двигателя и поэтому не реагирует на ошибки, возникающие в механической системе. В современных машинах применяются системы, непосредственно измеряющие закон движения рабочего органа и сравнивающие его с . При этом сигнал формируется в соответствии с ошибками и . Такие системы с обратными связями здесь рассматриваться не будут.

Эффективность и устойчивость замкнутой системы

Вернемся к рассмотрению системы, представленной на рис. 9.1, б; предположим, что в этой системе, движение которой описывается уравнением (9.17), введена обратная связь (9.25). Подставляя в (9.17)

;

и предполагая, что , имеем

. (9.26)

После элементарных преобразований получаем следующее уравнение для динамической ошибки:

. (9.27)

Определим динамическую ошибку при программном движении (9.13). Будем искать частное решение уравнения (9.27) в виде:

(9.28)

Подставим (9.28) и (9.13) в (9.27):

(9.29)

где ,

,

,

,

.

Приравняв коэффициенты при косинусах, найдем выражение для амплитуды динамической ошибки:

. (9.30)

При отсутствии обратной связи, то есть при , , амплитуда динамической ошибки определяется выражением

. (9.31)

Эффективность введения обратной связи можно характеризовать коэффициентом эффективности, который равен отношению амплитуд ошибок в замкнутой и разомкнутой системах. Разделив (9.30) на (9.31), получаем:

. (9.32)

Чем меньше коэффициент эффективности , тем более эффективным оказывается введение обратной связи. Легко видеть, что первые слагаемые подкоренных выражений в числителе и знаменателе (9.32) удовлетворяют неравенству

(9.33)

при любом , если ; если же , то неравенство (9.33) выполняется при

. (9.34)

Вторые слагаемые удовлетворяют неравенству

, (9.35)

если

. (9.36)

Таким образом, при достаточно больших значениях и , удовлетворяющих условиям (9.34) и (9.36), выполняются оба неравенства, (9.33) и (9.35), а при этом модуль числителя в (9.32) наверняка будет меньше модуля знаменателя, то есть будет выполняться условие эффективности управления (). Более того, при дальнейшем увеличении коэффициента усиления величина будет монотонно убывать, стремясь к нулю; при этом будет стремиться к нулю величина амплитуды динамической ошибки по скорости.

Условия устойчивости замкнутой системы. Казалось бы, увеличивая коэффициенты усиления системы обратной связи, можно обеспечить сколь угодно высокую точность выполнения программного движения. В действительности возможности повышения точности ограничены рядом причин, главной из которых является необходимость обеспечения устойчивости замкнутой системы. Для исследования устойчивости рассматриваемой системы обратимся к уравнению (9.27). Для асимптотической устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы характеристическое уравнение

. (9.37)

имело все корни с отрицательными вещественными частями. Для этого все коэффициенты этого уравнения должны быть положительными, что выполняется, если ; , а также должно выполняться условие Гурвица для уравнения третьей степени, которое в рассматриваемом случае принимает форму

. (9.38)

Обозначив ; , приводим условие (9.38) к виду

.

На рис. 9.4 представлены области устойчивости системы на плоскости параметров , , соответствующие различным величинам . Чем больше постоянная времени двигателя , тем меньше область допустимых значений и , а следовательно, и коэффициентов усиления и .

Таким образом, увеличение коэффициентов усиления системы обратной связи может приводить к неустойчивости замкнутой системы. Отрицательная обратная связь, которая по принципу действия должна была бы вызывать уменьшение динамической ошибки, в действительности оказывается причиной ее неограниченного увеличения. Не прибегая к подробному описанию всех процессов, возникающих в замкнутой системе, отметим только, что по существу неустойчивость вызывается инерционностью двигателя, характеристикой которой является его постоянная времени . Эта инерционность приводит к смещению по фазе колебательного момента двигателя по отношению к той колебательной компоненте переходного процесса, которую он должен демпфировать. В результате момент двигателя, возбужденный сигналом обратной связи, вместо демпфирующего становится раскачивающим. Чем больше величина , тем сильнее сказывается это обстоятельство.

Следует отметить, что инерционностью обладают и другие элементы системы управления. Так, например, сигнал на входе регулятора связан с динамической ошибкой более сложной зависимостью, чем та, что описана выражением (9.25). В первом приближении динамические процессы, происходящие в регуляторе, описываются уравнением вида

, (9.39)

где – постоянная времени регулятора. Обычно «запаздывание» в регуляторе мало (), так что при малых коэффициентах усиления им можно пренебречь. Однако с увеличением и влияние малой постоянной на устойчивость системы становится существенным.

Вообще, чем больше коэффициенты усиления цепи обратной связи, тем более точной должна быть динамическая модель системы. В частности, это относится к учету упругости звеньев механической системы. Этот учет становится необходимым в системах управления движением прецизионных машин, в которых программные движения должны выполняться с высокой точностью.