34. Влияние динамической характеристики двигателя на установившееся движение

Динамическая характеристика двигателя (8.12) отличается от статической наличием в левой части слагаемого ; для установившегося движения она может быть представлена в виде

. (8.44)

Рассмотрим, к чему приводит учет динамической характеристики двигателя при исследовании установившегося движения машинного агрегата. Задача сводится в этом случае к определению периодического решения системы дифференциальных уравнений (8.44) и (8.20). Запишем эти уравнения в форме

. (8.45)

При отсутствии возмущений, характеризуемых членами, стоящими в привой части (8.45), рассматриваемая система имела бы стационарное решение вида

, , (8.46)

соответствующее равномерному вращению при постоянном движущем моменте. Будем по-прежнему считать, что при наличии возмущений установившееся движение остается близким к режиму равномерного вращения (), а движущий момент мало отличается от постоянного. Тогда для решения системы уравнений (8.45) можно принять метод последовательных приближений, аналогичный рассмотренному выше. Вначале найдем решение системы уравнений

.

Подставим в них нулевое приближение, которое будем искать в виде

, , ,

, .

Находим

.

Складывая эти уравнения, получаем

, .

Таким образом, для определения средней угловой скорости ротора двигателя получилось уравнение, совпадающее с (8.26). Это означает, что учет динамической характеристики двигателя не влияет в первом приближении на величину средней угловой скорости .

Подставим найденное нулевое приближение в правую часть уравнения (8.45), получим систему уравнений для определения в первом приближении и :

, (8.46)

где – возмущающий момент. Будем искать решение системы (8.46) в виде

, , ,

, .

Заменим в левой части уравнения (8.46) моменты и их линеаризованными выражениями (8.34):

Получаем

. (8.47)

Из первого уравнения системы (8.47) определим

,

отсюда

.

Подставляя и во второе уравнение (8.47), получаем дифференциальное уравнение третьего порядка относительно :

. (8.48)

В большинстве случаев в реальных машинах , что позволяет отбросить второе слагаемое в коэффициенте при . Поделив все члены уравнения (8.48) на , получим:

, (8.49)

где – механическая постоянная времени машинного агрегата. Представим в форме ряда Фурье

. (8.50)

Решение уравнения (8.49) равно сумме частного и общего решений однородного уравнения. Общее решение данного уравнения стремится к нулю с ростом t, поэтому установившемуся движению системы соответствует частное периодическое решение, которое будем искать в виде (8.36). Подставим (8.36) и (8.50) в (8.49):

, ,

, .

Приравняем коэффициенты при косинусах и фазы:

, .

Окончательно получаем:

, (8.51)

. (8.52)

Неравномерность вращения характеризуется прежде всего амплитудами гармоник ряда (8.52). Амплитуда -ой гармоники определяется как произведение коэффициента на значение функции

, (8.53)

где . На рис. 8.7 приведены графики функций (8.53), построенные для различных величин отношения . При форма кривых мало отличается от той, которая получается при . При появляется дополнительный максимум функции . Анализ выражения (8.53) показывает, что этому максимуму соответствует

(8.54)

Величина максимального значения также зависит от . При она достигает 2,5, а при возрастает до 4,5. Увеличение коэффициента при означает увеличение амплитуды той гармоники , частота которой является близкой к . Соответственно увеличивается и неравномерность вращения. Это явление называется двигательным резонансом машины. При фиксированном значении функция при данном зависит от величины . Можно показать, что эта зависимость не является монотонной: величина достигает максимума при

. (8.55)

Если , то увеличение этого параметра может привести к росту . Но пропорционально , поэтому увеличение среднего момента инерции , например, при установке маховика, может приводить к увеличению неравномерности вращения. Отметим, что по ряду причин технологический процесс в машиностроении сопровождается в реальных машинных агрегатах увеличением отношения ; при этом часто проявляются отмеченные выше особенности поведения машины в установившемся режиме, и учет динамической характеристики двигателя становится необходимым.