31. Определение динамических ошибок при установившемся движении

Найдем теперь динамическую ошибку закона движения двигателя. С этой целью, следуя методу последовательных приближений, подставим решение

, , ,найденное выше, в правую часть уравнения (8.23), в которой стоят «возмущающие силы», вызывающие отклонение закона движения от равномерного вращения. Получаем

, (8.31)

где – возмущающий момент, ранее введенный в качестве характеристики внутренней виброактивности механизма. Таким образом, причиной неравномерности вращения ротора двигателя в установившемся режиме является внутренняя виброактивность механической системы, обусловленная явной зависимостью приведенного момента инерции и приведенного момента сил сопротивления от обобщенной координаты q. В левую часть уравнения (8.23) подставим первое приближение

. (8.32)

Разыскиваем первое приближение в виде

, , . (8.33)

Заменим в левой части уравнения (8.32) моменты и их линеаризованными выражениями

(8.34)

где – момент, соответствующий ординате точки В на рис. 8.4. Представляя в форме ряда Фурье и подставляя (8.33), (8.34) в (8.32), получаем линейное дифференциальное уравнение второго порядка

, (8.35)

где – угловая скорость входного звена исполнительного механизма; . Общее решение данного уравнения стремится к нулю с ростом t, поэтому установившемуся движению системы соответствует частное периодическое решение, которое будем искать в виде:

(8.36)

Определим амплитуду и фазу -ой гармоники. Подставим (8.36) в (8.35):

,

,

.

Приравняем коэффициенты при косинусах и фазы:

,.

Окончательно получаем:

, (8.37)

. (8.38)

Выражения (8.37) и (8.38) определяют динамическую ошибку закона движения в первом приближении. Для ее уточнения следует подставить в правую часть уравнения (8.23) и, решая его, искать следующее приближение. Однако, как правило, точность первого приближения оказывается вполне достаточной для практических расчетов.

Из формул (8.37) и (8.38) следует, что гармоника возмущающего момента, имеющая частоту , вызывает появление гармоник той же частоты в динамических ошибках по углу и угловой скорости. При этом амплитуды этих гармоник и связаны с амплитудой возмущающего момента соотношениями

, . (8.39)

Здесь – механическая постоянная времени машины. Формулы (8.39) показывают, что соотношения и убывают с ростом . Это обычно приводит к тому, что в спектре динамических ошибок преобладающими оказываются низкочастотные компоненты.

По этой причине ряды Фурье (8.37) и (8.38) обычно быстро сходятся. В некоторых случаях можно ограничиться сохранением в них первых двух-трех гармоник.

Вместе с тем необходимо отметить, что представление решения в виде ряда Фурье может оказаться неприемлемым в тех случаях, когда в цикловой машине при установившемся движении возникают скачки возмущающего момента, вызванные какими-то ударными процессами (например, в прессах), или скачками второй производной от функции положения (в кулачковых механизмах). В таких системах на сравнительно плавное движение машины, описываемое решением вида (8.37) – (8.38), накладываются свободные колебания, вызванные скачками возмущения. Эти колебания принято называть сопровождающими. Следует, однако иметь в виду, что чаще всего адекватное рассмотрение установившихся решений в системе со скачками возмущений требует перехода к упругой модели механизма. Подробно такие упругие системы рассмотрены в [4].

Неравномерность вращения ротора двигателя принято характеризовать коэффициентом неравномерности (рис. 8.5):

.

В литературе [6] можно найти указания о допустимых значениях коэффициента неравномерности для различных машин. Сама по себе неравномерность вращения, как правило, не влияет на качество рабочего процесса. Чаще всего она опасна тем, что вызывает дополнительные потери энергии в двигателе и повышенные динамические нагрузки в передаточном механизме. Кроме того, неравномерность вращения ротора двигателя, обладающего обычно большим моментом инерции, вызывает динамические воздействия на основание.