РОССИЙСКОЕ АКЦИОНЕРНОЕ ОБЩЕСТВО “ГАЗПРОМ”

ВОЛГОГРАДСКИЙ КОЛЛЕДЖ ГАЗА И НЕФТИ

Факультет «Автоматика и вычислительная техника»

Вычислительная техника

Методическое пособие

к практической работе № 2

Основы алгебры логики

Специальность 220301

«Автоматизация технологических процессов и производств»

(базовый уровень образования)

Волгоград 2006

Содержание

1. Цель работы 3

2. Вопросы для самоподготовки 3

3. Краткие теоретические сведения 3

4. Порядок выполнения работы 6

5. Задания к лабораторной работе 6

6. Указания по выполнению работы 8

7. Контрольные вопросы 8

8. Литература 9

Автор: Шенкнехт Н.А.  преподаватель специальных дисциплин ВКГН.

Практическая работа № 2

Основы алгебры логики

1. Цель работы

Изучение основ и законов булевой алгебры и приемов применения данных законов для упрощения логических выражений; изучение различных методов представления переключательных функций, методов синтеза и анализа логических схем.

2. Вопросы для самоподготовки

1. Элементарные логические функции.

2. Законы алгебры логики.

3. Понятие базиса в множестве логических функций.

4. Понятия нормальной формы (НФ), совершенной НФ, минимальной НФ.

5. Методы представления логических функций в виде формулы по заданной таблице истинности.

3. Краткие теоретические сведения

Для формального описания узлов ЭВМ при их анализе и синтезе используется аппарат алгебры логики. Основные положения алгебры логики разработал Джордж Буль. Алгебру логики называют также булевой алгеброй.

В булевой алгебре различают двоичные переменные и переключательные функции.

Двоичные переменные могут принимать два значения : 0 и 1. Они называются также логическими или булевыми переменными и обозначаются символами x₁, x₂, x₃ ... .

Переключательные функции (ПФ) зависят от двоичных переменных. Они, как и аргументы, могут принимать лишь два значения: 0 или 1. ПФ называют также логическими или булевыми функциями. Будем обозначать ПФ в виде f(x₁, x₂, x₃ ...), указывая в скобках аргументы, либо в виде y₁, y₂, ... . ПФ в свою очередь могут служить аргументами еще более сложных логических функций. Следовательно, можно построить ПФ любой заранее заданной сложности, пользуясь ограниченным числом логических связей.

ПФ принято задавать таблицами истинности, в которых для всех наборов переменных указываются соответствующие им значения ПФ. Формирование значений ПФ в таблице истинности выполняется в соответствии с логикой работы устройства (сумматора, сдвигателя, преобразователя кодов и т.п.).

Набор переменных  это совокупность значений двоичных переменных, каждая из которых может быть равна 0 или 1. Если число аргументов ПФ равно n, то существует 2ⁿ различных сочетаний этих переменных, т.е. наборов.

Приведенная ниже таблица представляет собой таблицу истинности для некоторых ПФ f₁ и f₂, зависящих от двоичных переменных x₁, x₂, x₃. Так как n = 3 (три переменных), таблица содержит 8 строк, соответствующих 2³ = 8 наборам переменных x₁, x₂, x₃. Для каждого набора в таблице записаны значения ПФ f₁ и f₂, равные 0 или 1. По таблице истинности записывается аналитическое выражение для ПФ.

X1	X2	X3	F1	F2
0	0	0	0	1
0	0	1	1	0
0	1	0	0	1
0	1	1	0	0
1	0	0	1	0
1	0	1	1	0
1	1	0	0	0
1	1	1	0	1

Произвольная ПФ может быть выражена в форме функции от двоичных переменных (либо от других ПФ) с помощью ограниченного числа элементарных логических функций. Рассмотрим эти функции.

Логическое отрицание (функция НЕ). Логическим отрицанием переменной x называется такая ПФ f₁(x), которая имеет значение 1, когда x = 0 и значение 0, когда x = 1. ПФ НЕ обозначается в виде и читается «f₁ есть не x».

Функция НЕ выполняет электронную схему, которая называется инвертором.

Логическое умножение (конъюнкция). Конъюнкция двух (или любого другого числа) переменных x₁ и x₂ принимает значение 1 только на наборе, в котором все переменные имеют значения 1. На остальных наборах эта функция имеет значение 0. ПФ конъюнкция обозначается в виде и читается «f₂ есть x ₁и x₂». Для обозначения конъюнкции можно использовать символы  и . Конъюнкция называется также функцией И и выполняется электронной схемой, которая называется конъюнктором.

Логическое сложение (дизъюнкция). Дизъюнкция двух (или любого другого числа) переменных x₁ и x₂ принимает значение 0 только на наборе, в котором все переменные имеют значения 0. Если хотя бы одна из переменных равна 1, функция будет иметь значение 1. ПФ дизъюнкция обозначается в виде и читается «f₃ есть x ₁или x₂». Для обозначения дизъюнкции можно использовать символы + и . Дизъюнкция называется также функцией ИЛИ и выполняется электронной схемой, которая называется дизъюнктором.

Можно сформулировать несколько законов, отражающих основные соотношения булевой алгебры. Наиболее важные из них перечислены в следующей таблице.

1a

2a

3a

4a

5a

6a Закон двойного отрицания

7a Закон коммутативности (переместительный)

8a Закон поглощения

9a

10a Правило да Моргана

11a Закон ассоциативности (сочетательный)

12a Закон дистрибутивности (распределительный)

1b

2b

3b

4b

5b

7b

8b

9b

10b

11b

12b

Справедливость вышеописанных законов доказывается путем составления таблиц истинности для левой и правой частей каждого выражения и их сравнения на совпадение для одних и тех же наборов переменных.

Существует много способов использования рассмотренных выше законов. Вообще говоря, они дают правила преобразования булевых выражений. С их помощью можно получать эквивалентные выражения. Новые выражения могут оказаться проще или сложнее исходного в зависимости от целей преобразования. Например, можно стремиться к простейшему выражению в смысле минимального числа символов.

Переключательные функции (ПФ) могут быть выражены различными логическими формулами благодаря возможности проведения над ними эквивалентных преобразований. Однако на практике наиболее удобными для представления ПФ оказываются дизъюнктивные и конъюктивные формы. В пределах данной практической работы нами будут рассматриваться только первые из них.

Среди дизъюнктивных форм представления ПФ различают дизъюнктивную нормальную форму и совершенную дизъюнктивную нормальную форму. В основе представления ПФ в дизъюнктивных формах лежит понятие элементарной конъюнкции.

Конъюнкция любого числа двоичных переменных x₁, x₂, ..., x_n называется элементарной, если сомножителями в ней являются либо одиночные аргументы, либо отрицание одиночных аргументов. Например, конъюнкции являются элементарными, а конъюнкции ими не являются. Очевидно, что символ любой переменной в элементарной конъюнкции может встречаться один раз, так как произведение переменной на себя равно этой же переменной (по правилу повторения), а произведение переменной на свое отрицание равно нулю.

Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) переключательной функции называется дизъюнкция (логическая сумма) любого числа элементарных конъюнкций. Например, ПФ

записана в ДНФ, так как она представляет собой логическую сумму элементарных конъюнкций.

Число переменных, входящих в элементарную конъюнкцию, определяет ранг этой конъюнкции. Например,  конъюнкции 1-го ранга;  конъюнкции 2-го ранга и т.д.

Совершенной ДНФ (СДНФ) ПФ, имеющей n аргументов, называется такая форма, в которой все конъюнкции имеют ранг n.

СДНФ переключательной функции записывается по таблице истинности. Для того чтобы по таблице истинности построить СДНФ, надо каждому набору переменных, на котором ПФ принимает единичное значение, поставить в соответствие элементарную конъюнкцию ранга n и все эти конъюнкции логически сложить (др. словами соединить дизъюнктивно); в каждой конъюнкции СДНФ с отрицанием берутся те переменные, которые на соответствующем этой конъюнкции наборе имеют нулевое значение.

После составления выражения для ПФ можно построить из логических элементов И, ИЛИ, НЕ функциональную схему, которая будет вычислять значение ПФ. Чтобы построить функциональную схему для ПФ, записанную в СДНФ, надо взять k схем (элементов) И на n входов каждая, где k  число конъюнкций СДНФ, и объединить выходы схем И с помощью элемента ИЛИ на k входов.

Для каждой функциональной схемы можно сделать оценку ее сложности, которая выражается ценой (по Квайну) схемы С. Цена С определяется суммарным числом входов логических элементов. Чем меньше величина С, тем проще функциональная схема. Если ПФ задана СДНФ, ее цену можно выразить формулой:

С = kn + k

Используя правила склеивания, можно упростить ПФ, заданную в СДНФ. Для этого в СДНФ сначала склеивают между собой конъюнкции ранга n, затем полученные конъюнкции ранга (n-1), (n-2) и так до тех пор, пока в выражении для ПФ не останется ни одной пары склеиваемых между собой конъюнкций. Операция склеивания позволяет понизить ранг конъюнкций и сократить их число. В результате уменьшается цена схемы.

Процесс анализа функциональных схем сводится к обратной задаче: по заданной логической схеме необходимо восстановить аналитический вид логической функции.

Еще раз подчеркнем, что при проектировании ЭВМ алгебра логики используется для синтеза и анализа комбинационных схем на этапе проектирования ЭВМ. В комбинационных схемах совокупность выходных сигналов в любой дискретный момент времени однозначно определяется входными сигналами, поступающими на входы в тот же момент времени. Реализуемый в этих схемах способ обработки называется комбинационным, так как результат обработки информации зависит только от комбинации входных сигналов и вырабатывается сразу после подачи входной информации.

Закон функционирования КС определен, если задано соответствие между входными и выходными сигналами в виде таблицы истинности или в аналитической форме, с использованием переключательных функций. Комбинационные устройства называют также автоматами без памяти.

Процесс синтеза КС проводится в несколько этапов: составляется таблица истинности работы КС, затем по определенным правилам в соответствии с этой таблицей записывается ПФ. На следующем этапе с помощью законов алгебры логики проводится минимизация ПФ, в результате чего получается выражение, содержащее наименьшее количество операций и аргументов. По этому выражению строится КС на элементах, реализующих операции алгебры логики.

Таким образом, достигается получение наиболее простых и экономичных аппаратных решений для различных схем ЭВМ.