3.31. Асимптоты графика функции и их построение

Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по кривой от начала координат.

Асимптоты могут быть вертикальными и наклонными.

Вертикальные асимптоты появляются на границах области определения функции и в точках разрыва второго рода. Говорят, что прямая является вертикальной асимптотой графика функции , если или

Например, кривая имеет вертикальную асимптоту , так как Примером асимптоты графика функции, возникающего на границе области определения, является асимптота графика .

Пример 5. Исследовать функцию на наличие вертикальных асимптот.

Решение. Функция определена на множестве . Поскольку точка оказывается выколотой из области определения, то рассмотрим левосторонний и провосторонний пределы функции при

и .

Функция имеет вертикальную асимптоту .

Наклонные асимптоты появляются при и как наклонные прямые описываются уравнением вида . Для нахождения параметров и рассмотрим произвольную точку , расположенную на кривой, имеющей наклонную асимптоту.

Расстояние от точки до асимптоты стремится к нулю при удалении точки на бесконечность. Удобнее, однако, рассмотреть отрезок , являющийся гипотенузой прямоугольного треугольника . Поскольку не изменяется при , то или

.

Выносим за скобки и получаем

.

Так как величина является бесконечно большой величиной, то

.

Вычитаемое может быть опущено как бесконечно малая величина, следовательно,

или

.

Из условия находим:

.

Если хотя бы один из пределов, связанных с вычислением коэффициентов и не существует или равен бесконечности, то кривая не имеет наклонной асимптоты. В частном случае, когда получаем горизонтальную асимптоту. Существуют функции, графики которых имеют различные асимптоты при стремлении к и , поэтому при определении параметров и необходимо вычислять соответствующие пределы при и .

Пример 6. Найти асимптоты графика функции .

Решение. Поскольку то график функции при асимптоты не имеет. При получаем:

Следовательно, при график имеет горизонтальную асимптоту .

Пример 7. Найти асимптоты графика функции .

Решение. Поскольку единственной точкой, выколотой из области определения функции, является , то находим левосторонний и правосторонний пределы при :

Найденные пределы говорят о наличии вертикальной асимптоты .

Для нахождения наклонной асимптоты вычислим пределы, соответствующие параметрам и :

Следовательно, при график функции имеет горизонтальную асимптоту .