2.2. Особливості математичного опису випадкових сигналів

Багато характеристик і параметрів, вказаних вище, незастосовні до випадкових сигналів. У той же час для них задаються кілька нових параметрів, які випливають із статистично-ймовірнісного опису таких сигналів. У цьому випадку переважно обмежуються стаціонарними випадковими сигналами, які ми і будемо розглядати надалі.

Основним параметром цих сигналів є амплітудна густина. Для її розрахунку весь діапазон зміни величини S(t) розбивають на інтервали S (рис. 2.3). У результаті миттєве значення величини S(t) буде знаходитись у певному фіксованому інтервалі S протягом n інтервалів часу t₁, t₂, t₃, ... t_n. Тоді функцією амплітудної густини називають величину , де значення S береться в тій же точці, в якій задається інтервал S.

Plot[{mander[5,j,200],

meander[20,j,200]},{j,1,400},

PlotStyle→{Hue[0,75], Hue[1]},

PlotRange→{-1.2,1.2}]

Р ис. 2.3. Визначення функції амплітудної густини випадкових сигналів

Функція амплітудної густини зв'язана з іншими важливими параметрами – середнім значенням випадкового сигналу і дисперсією випадкового сигналу .

Звичайно, що функція амплітудної густини не однозначно характеризує сигнал. Одному і тому ж розподілу h(S) можуть відповідати різні сигнали – як швидко, так і повільно змінні в часі.

2.3. Функції спектрального аналізу й статистичної обробки сигналів

В даній курсові роботі ми розглянемо непараметричний метод аналізу спектрального сигналу, а саме побудову оцінки спектральної щільності потужності випадкового процесу, який описується вхідним і вихідним сигналом у вигляді періодичної функції.

При використанні непараметричних методів розрахунку спектру випадкового процесу використається тільки інформація, яка покладена у відліках сигналу, без будь-яких додаткових припущень. В пакеті Signal Processing реалізовані три таких методи - періодограма, метод Уелча (Welch) і метод Томсона (Thomson).

У пакеті Signal Processing обчислення періодограми (у тому числі модифікованої) виконується за допомогою функції periodogram. Як вже було описано раніше, для зменшення зрізаності періодограми необхідно застосувати яке-небудь усереднення, в нашій роботі ми будемо використовувати вікно Уелча та метод Томсона.

Обчислення при використанні методу Уелча (він називається ще методом усереднення модифікованих періодограм – averaged modified periodogram method) виконуються таким способом: вектор відліків сигналу ділиться на сегменти, що перекриваються, кожен сегмент множиться на використовувану вагову функцію, для зважених сегментів обчислюються модифіковані періодограми, періодограми всіх сегментів усереднюються.

Метод Уелча є найбільш популярним періодограмним методом спектрального аналізу. У пакеті Signal Processing він реалізується за допомогою функції pwelch.

Метод Томсона, реалізований функцією pmtm, заснований на використанні витягнутих сфероїдальних функцій (prolate spheroidal functions). Ці функції кінцевої тривалості забезпечують максимальну концентрацію енергії в заданій смузі частот. Крім властиво спектральної оцінки, функція pmtm може повертати її довірчий інтервал. Для обчислення витягнутих сфероїдальних функцій потрібно якийсь час, тому при багаторазовому використанні функції pmtm можна пришвидшити розрахунки, заздалегідь розрахувавши необхідні для аналізу функції й зберігши їх у базі даних. Для роботи з такою базою (вона являє собою MAT-файл, наприклад із ім'ям data.mat) призначене сімейство функцій, імена яких починаються з букв data (data – розрахунок функцій, load – завантаження сімейства функцій з бази даних, save – збереження сімейства функцій у базі даних, dir – вивід каталогу бази даних, clear – видалення сімейства функцій з бази даних).

Як приклад згенеруємо синусоїдальний сигнал , за допомогою якого передається певна інформація повного об’єму , що еквівалентно швидкості її передачі в деякому часовому інтервалі t. Проведемо спектральний аналіз даного сигналу трьома вище перерахованими методами.

Count=1000; - кількість відліків генерації сигналу (частота);

t=0:1/Count:0.8; - часовий інтервал;

w=5.4; - об’єм інформації;

x=sin(pi*w*t)+randn(size(t));

plot(t,x);

Вигляд згенерованого сигналу показано на рис. 2.4

Р ис. 2.4 Спектральний сигнал

Далі побудуємо періодограму, по 512 точках за зазначеною кількістю відліків:

periodogram(x,[],512,Count);

Вигляд побудованої періодограми показано на рис. 2.5. На даному графіку ми бачимо як періодограма дуже посічена. Тепер виконаємо оцінку спектру тієї ж реалізації методом Уелча:

pwelch(x,[],[],512,Count);

Рис. 2.5 Періодограмма потужності оцінки спектральної щільності

Вигляд побудованої оцінки показано на рис. 2.6. Посіченість графіка стала значно меншою. В кінці виконаємо оцінку спектру методом Томсона:

pmtm(x,[],512,Count);

Рис. 2.6 Уелч потужність оцінки спектральної щільності

Р ис. 2.7 Томсона потужність оцінки спектральної щільності

На виведеному графіку за допомогою функції pmtm разом з оцінкою спектру потужності показані межі довірчого інтервалу.

Даний аналоговий сигнал являється вихідною характеристикою якогось перетворювача, якщо ми задамо вхідну характеристику і зіставимо її з вихідною, тоді за допомогою перетворення за Лапласом зможемо побудувати передаточну функцію оператора перетворення сигналів, яка покаже динамічну характеристику роботи перетворювача.

Отже на другому етапі виконання курсової роботи побудуємо передаточну функцію перетворювача сигналів. Для цього спочатку представимо вхідний сигнал у вигляді імпульсу певного розміру , що характеризує певний об’єм інформації, який необхідно передати за певний проміжок часу t.

Отже в нас є певний об’єм інформації , яку ми передаємо за допомогою несучого сигналу , який генерується перетворювачем, з певною частотою, яка характеризується кількістю відліків генерації сигналу. Нижче запишемо вище сказане кодом Matlab:

Count=1000;

t=0:1/Count:0.8;

w=5.4;

x=w; – вхідний параметр;

y=sin(pi*w*t)+randn(size(t)); – вихідний параметр;

Далі будуємо імпульсну перехідну функцію за допомогою команди impulse. Імпульсна перехідна функція – вихідний сигнал динамічної системи, як реакція на вхідний сигнал у вигляді дельта-функції Дирака. В цифрових системах, як правило, вхідний сигнал являє собою імпульс мінімальної ширини (рівний періоду квантування для дискретних систем) і максимальної амплітуди. Отже імпульсною характеристикою системи (об’єкта керування) буде її реакція на одиничний імпульс при нульових початкових умовах.

Логарифмічна амплітудно-фазова частотна характеристика (ЛАФЧХ) – представлення частотного відгуку лінійної стаціонарної системи в логарифмічному масштабі.

ЛАФЧХ будується у вигляді двох графіків: логарифмічної амплітудно-частотної характеристики і фазово-частотної характеристики, які зазвичай розташовуються один під одним.

ВИСНОВКИ

У

ЛІТЕРАТУРА

1. Баскаков С.І. Радіотехнічні кола і сигнали : Посібник для вузів. - М.: Вища школа, 1988.

2. Зіновєв А.Л., Філиппов Л.І. Введення в теорію сигналів і кіл : Учбовий посібник для вузів. - М.: Вища школа, 1975. - 264 с.

3. Макс Ж. Методи і техніка обработки сигналів при фізичних вимірюваннях: В 2-х томах. - М.: Мир, 1983.

4. Нікітін А.А. Теоретичні основи обробки геофізичної інформації: Учбовий посібник для вузів. - М.: Недра, 1986.- 342 с.

5. Рапопорт М.Б. Обчислювальна техніка в польовій геофізиці: Учбовий посібник для вузів. - М.: Недра, 1993.- 350 с.

6. Хеммінг Р.В. Цифрові фільтри. – М.: Недра, 1987. – 221 с.

7. Сергіенко А.Б. Цифрова обробка сигналів. – СПб.: Пітер, 2003. – 608 с.