ЗМІСТ

ВСТУП .

1. СПЕКТР ПРЕДСТАВЛЕННЯ ПЕРІОДИЧНИХ СИГНАЛІВ .

   1. Основні характеристики сигналів в електронних системах .

   2. Класифікація сигналів .

   3. Моделювання сигналів .

   4. Спектральне представлення періодичних неперервних сигналів .

   5. Спектральне представлення неперіодичних сигналів .

   6. Комплексна форма опису ряду Фур’є .

   7. Спектральний опис імпульсних сигналів .

2. СПЕКТРИ ДЕЯКИХ СИГНАЛІВ .

   1. Спектральний опис імпульсних сигналів .

   2. Особливості математичного опису випадкових сигналів .

   3. Функції спектрального аналізу й статистичної обробки сигналів .

ВИСНОВКИ .

ЛІТЕРАТУРА .

ВСТУП

Систему MATLAB (матрична лабораторія), розроблену програмістом Молером (C.B. Moler) як середовище програмування високого рівня для технічних обчислень, з кінця 70-х років широко використовували на великих ЕОМ. На початку 80-х років Дж. Літл (John Little) з фірми Math Works, Inc. розробив першу версію системи PC MATLAB для комп'ютерів класу IBM PC та Macintosh, з якої і почалася еволюція версій системи для персональних комп'ютерів.

Архітектурно система MATLAB складається з базової програми і декількох десятків так званих пакетів розширення, які у своїй сукупності забезпечують винятково широкий діапазон розв'язуваних задач. Інтеграція всіх цих засобів у єдиному робочому середовищі забезпечує необхідну гнучкість використання сотень вбудованих функцій, які реалізують різноманітні математичні процедури та обчислювальні алгоритми.

Можливості системи MATLAB практично необмежені, а за швидкістю обчислень вона нерідко перевершує своїх конкурентів. Система пристосована для розрахунків у будь-якій галузі науки та техніки і широко використовується при математичному моделюванні фізичних пристроїв та систем. Система MATLAB є однією з найбільш відомих і популярних систем комп'ютерної математики, яка призначена для рішення широкого класу задач, пов'язаних з тим чи іншим розділом теоретичної або прикладної математики. Цьому сприяє не тільки розширений набір матричних та інших операцій і функцій, але й наявність пакета розширення Simulink, який призначено для рішення задач імітаційного блокового моделювання динамічних систем та пристроїв.

Слід зазначити, що окремі класи задач, які дозволяє вирішувати система MATLAB, мають дуже умовне відношення до класичної математики, оскільки в даний час являють собою вузько спеціалізовані галузі наукових та прикладних досліджень.

1. СПЕКТРАЛЬНЕ ПРЕДСТАВЛЕННЯ СИГНАЛІВ

1.1. Основні характеристики сигналів в електронних системах

У різних областях діяльності людини для отримання, передачі, і обробки інформації використовуються різні матеріальні носії повідомлень, а відповідно й інформації. Такі носії можуть бути найрізноманітнішими: папір (для тексту чи малюнку), феромагнітна плівка, лазерний диск, механічні коливання пружного середовища, електричний струм, електромагнітні хвилі і багато інших. Для того, щоб такий носій сприйняв інформацію, потрібно змінити певні параметри такого носія за законом, який враховував би зміст накладеної інформації.

Усі можливі носії повідомлень, параметри яких змінюються відповідно до змісту повідомлень, називають сигналами в широкому розумінні слова. У вузькому розумінні слова в електроніці під сигналами розглядають лише коливання струму або напруги та електромагнітні хвилі, які поширюються в певному середовищі чи в просторі і несуть певне повідомлення. Надалі поняття сигнал ми будемо розглядати лише у вузькому розумінні, оскільки саме такі сигнали характерні для електронних інформаційних систем.

Для детального теоретичного вивчення сигналів використовують їх математичні моделі. Однією з форм математичного опису (однією із моделей) сигналу є задання його функції S(t) – часового представлення сигналу, що визначає його миттєві значення в будь-який момент часу t. Часове представлення сигналу задають або в аналітичному вигляді з допомогою конкретних функцій, наприклад S(t) = S₀exp(-t), або в графічному вигляді з допомогою осцилограми, знятої на тій чи іншій ділянці електронної схеми. Відповідно, в більшості випадків значення функції S(t) вимірюється у вольтах.

Для спрощення ми будемо розглядати лише електронні системи, носії в яких реалізуються переважно у вигляді електромагнітного процесу (електромагнітної хвилі), змінного електричного струму або у вигляді імпульсів електричного струму. Сам носій теж характеризується своїми математичними моделями. Часове представлення (осцилограму) носія будемо позначати надалі через f(t). Математично найпростіший носій описується у вигляді постійного струму чи напруги. Такий носій має лише один параметр – величину постійної напруги f₀.

Іншим простим носієм є змінний струм, який математично описується у вигляді гармонічних коливань f(t) = f₀sin(t + ₀) = f₀sin(t) або f(t) = f₀cos(t + ₀) = f₀cos(t), де f₀, , ₀ – відповідно амплітуда, кругова частота і початкова фаза гармонічних коливань, а (t) – загальна фаза коливань. Усі ці чотири величини є параметрами носія, які можуть бути використані для формування сигналу.

Простим носієм є і одиночний прямокутний імпульс струму чи напруги (рис.1.3а), який математично задається функцією форми імпульсу . Функція форми імпульсу визначає всі його властивості. Основними параметрами одиночного прямокутного імпульсу є його амплітуда f₀ і тривалість ₀. Більш складні імпульсні носії являють собою одиночні прямокутні імпульси, що слідують один за одним з періодом слідування Т і описуються функцією , де n = 0, 1, 2, . Іноді в ролі імпульсних носіїв використовують і імпульси іншої форми, наприклад трикутної чи трапецевидної. Такі носії описуються такими ж параметрами, як і прямокутні імпульси.

Найпростішим прикладом носія у вигляді електромагнітного процесу є плоска гармонічна електромагнітна хвиля інтенсивністю І з періодом Т, довжиною хвилі  та швидкістю її поширення с. При цьому  = сТ.

Представлення сигналу (чи носія) функцією часу S(t), як і всяке інше представлення, є абстракцією або моделлю, при якій багато особливостей реального процесу не враховується. Наприклад, гармонічні і періодичні коливання, записані вище, мають нескінченну тривалість і енергію, в той час як реальні сигнали завжди мають обмежену тривалість  і обмежену енергію. Але аналітичне (у виді математичної функції) представлення обмеженого в часі сигналу набагато складніше, і тому там, де це можливо, використовують прості вирази, наведені вище.

Якщо необхідно проаналізувати не самі зміни складного сигналу в часі, а з’ясувати, з яких простих гармонічних коливань він складається, то використовують спектральне представлення сигналу S(j), в основі якого лежить перетворення Фур’є. Функція S(j) визначає амплітуди і фази всіх гармонічних коливань даного сигналу. Тобто, в спектральному представленні увага переноситься з часових залежностей на частотний спектр і сигнал подається у вигляді не функцій часу, а функцій частоти. Сукупність простих гармонічних коливань, на які можна розкласти даний сигнал, називають спектром. Смуга частот, у якій спостерігаються гармонічні коливання, що складають даний сигнал, називають шириною спектра сигналу F.

Для задання спектрального представлення S(j) в загальному випадку необхідно визначити дві функції і відповідно два графіки: для спектру амплітуд і для спектру фаз усіх гармонічних складових сигналу. Більш широко це питання буде розглядатися у наступному розділі. Крім спектрального та часового, використовують і деякі інші представлення сигналів. Але вони практично використовуються набагато рідше і коротко будуть розглянуті при необхідності застосування таких представлень для розв’язку практичних задач.

З функцій S(t) i S(j) можна визначити тривалість  і ширину спектра F сигналу. Для багатьох сигналів така процедура проводиться досить легко. Але багато функцій, які описують сигнал, можуть не мати чітких часових і спектральних границь. У цих умовах тривалість або ширину спектра умовно визначають як часовий інтервал або як смугу частот, в яких зосереджено задану частку енергії сигналу. На практиці вважається допустимим відкидати часові або спектральні складові сигналу, які несуть до 10% його енергії.

Детальний спектральний і часовий опис буває необхідний не для всіх завдань. Іноді достатньо розглядати лише основні характеристики і параметри сигналу. При цьому до зазначених вище величин слід додати ще кілька загальних параметрів. Перевищення сигналу над завадою D = 10log(P_сг/P_зв), де P_сг – середня потужність сигналу, P_зв – середня потужність завади. Для імпульсних періодичних сигналів важливим параметром є шпаруватість  = (Т-₀)/T. Добуток трьох характеристик сигналу , F і D називають об’ємом сигналу V = FD, а величина  = 2F – базою сигналу. Якщо   1, то сигнал називають простим або елементарним, а у випадку   1 сигнал буде складним. У більшості випадків елементарний сигнал являє собою одиночний імпульс струму чи напруги або короткий “відрізок” гармонічного електромагнітного коливання. Елементарні сигнали призначені для перенесення найпростіших окремих елементів інформації; “0” чи “1”, відповіді “так” чи “ні” і т.д. Складний сигнал являє собою сукупність елементарних сигналів.

Слід пам’ятати, що у формулу для об’єму сигналу перевищення сигналу над завадою потрібно підставити в децибелах. Інші ж параметри сигналів вимірюються такими одиницями: [S₀] = [f₀] = B, [] = рад/сек, [(t)] = ₀  град або рад,   = ₀ =  = с, [f] = F = Гц,  – безрозмірна величина, [V] = [D] = дБ. На закінчення нагадаємо зв’язок між простою частотою f, круговою частотою  і періодом Т гармонічних коливань:  = 2f i T = 1/f.