1.4. Односторонние пределы.

Если и , то принято писать . Если и , то принято писать . Пределы и

, если они существуют, называют соответственно пределом слева (левосторонним пределом) функции в точке и пределом справа (правосторонним пределом) функции в точке . Для существования предела функции в точке необходимо и достаточно, чтобы односторонние пределы существовали порознь и равнялись бы между собой, т.е. .

Примеры. Найти односторонние пределы функции:

1. при ;

2. при ;

Решение. 1) , т. к. .

, т. к. .

Пределы оказались неравными, следовательно, предела функции в точке не существует.

2) , где ; отсюда видно, что если , то .

.

Пределы оказались неравными, следовательно, предела функции в точке не существует.

1.5. Непрерывные функции.

Для существования предела не имеет значения, определяется или нет эта функция в точке . Например, функция не определена при (неопределенность ), однако (первый замечательный предел).

Дадим несколько определений непрерывной в точке функции, если определена на некотором интервале, содержащем точку .

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если выполняется одно из следующих эквивалентных между собой условий:

1. (на языке пределов);

2. Для всякой последовательности значений аргумента , сходящейся к точке , соответствующая последовательность значений функции сходится к , то есть . (на языке последовательностей);

3. ;

4. а) если определена в точке и вблизи этой точки;

б) существует , существует и ;

в) .

Если нарушается хотя бы одно из условий а)- в) пункта 4, то в точке функция терпит разрыв. При этом - точка разрыва первого рода (точка конечного скачка), если существуют оба односторонних предела и ; - точка разрыва второго рода (точка бесконечного скачка), если или . На графике это выглядит следующим образом.

y y y

3

0

1

0

x x

x

(а) (б) (в)

Рис. 3

На рисунке 3 (а) график функции состоит из двух ветвей и одной точки , где по условию:

Функция определена на всей числовой прямой, неэлементарная, т. к. задана двумя различными формулами. Исследуем ее непрерывность в точке , где изменяется ее аналитическое выражение: . В точке устранимый разрыв, в остальных точках она непрерывна.

На рисунке 3 (б) изображена функция , она исследуется в точке , в остальных точках данная функция определена. Найдем предел функции слева в точке : . Найдем предел справа в этой же точке: . Отсюда . Следовательно, в точке функция имеет разрыв первого рода. Скачок функции в точке равен модулю разности . Во всех других точках числовой прямой функция непрерывна, т. к. задана элементарными функциями.

На рисунке 3 (в) представлена неэлементарная функция , которая определена на всем множестве действительных чисел, задана тремя разными формулами на различных промежутках изменения аргумента:

Исследуем непрерывность функции в точках и : ; .

По условию , следовательно, , т. е. непрерывна в точке .

, т. е. имеет разрыв второго рода. В остальных точках числовой оси функция непрерывна.

При отыскании точек разрыва функции следует учесть, что элементарная функция может иметь разрыв только в той точке, где она не определена.

Неэлементарная функция может иметь разрывы как в точках, в которых она не определена, так и в точках, где она определена; если функция задана несколькими различными аналитическими выражениями( формулами) для различных интервалов изменения аргумента, то она может иметь разрывы в тех точках, при переходе через которые изменяется ее аналитическое выражение.