1.2. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Функция называется бесконечно малой при ( ), если предел её равен нулю, т.е. .

Обычно бесконечно малые функции обозначают: .

Примеры. 1. бесконечно малая функция при , так как .

2. бесконечно малая функция при , так как .

3. - бесконечно малая функция при , так как .

Функция называется бесконечно большой при ( ), если .

Примеры. 1. - бесконечно большая функция при , так как .

2. - бесконечно большая функция при , так как .

Замечание. Очевидно, что если бесконечно малая функция при , то бесконечно большая функция при .

Связь между видом графика функции в окрестности точки и пределом проиллюстрирована на рис.2.

2

1

0

-1

-2

0

1

(а) Рис.2. (б)

Для функции на рис.2(а): не существует ( ), - не существует.

При - бесконечно малая величина;

При - бесконечно большая положительная величина;

При - бесконечно большая отрицательная величина;

При - бесконечно большая положительная величина.

Для функции на рис.2(б): - не существует;

, т.е. отрицательная бесконечно большая величина при .

1.3. Основные теоремы о пределах.

Если функции и имеют пределы при , то:

Примеры. Найти указанные пределы:

Решение.

1. Данная функция является элементарной, она определена в предельной точке , поэтому находим предел функции как её частное значение в предельной точке.

2.Рассмотрим заданную функцию как элементарную, определённую в предельной точке , следовательно, значение предела совпадает со значением функции в этой точке

= .

3. Пределы числителя и знаменателя существуют и предел знаменателя не равен 0. Пользуясь теоремой о пределе частного, получим:

4. Так как предел знаменателя равен 0 (в знаменателе стоит бесконечно малая величина при ), то непосредственно применять теорему о пределе частного нельзя. В числителе стоит величина ограниченная, отличная от 0. Под знаком предела будет произведение ограниченной величины , отличной от 0, на бесконечно большую величину при как величину, обратную бесконечно малой. Следовательно, величина есть бесконечно большая при .

Раскрытие математических неопределённостей.

I. При вычислении возможен случай, когда =0, т.е. дробь терпит разрыв в точке . В этом случае говорят, что имеем неопределённость . Происходит это потому, что функции содержат множитель , который обращается в 0 при .Необходимо его выделить и сократить дробь по схеме:

Примеры. Найти указанные пределы:

Решение. 1) Найдём корни трёхчленов:

2) Умножим числитель и знаменатель дроби на сопряженные им выражения

3) Во многих случаях используют первый замечательный предел и следствия из него: .

II. Если при и , то отношение представляет неопределённость вида . В этом случае рекомендуется числитель и знаменатель дроби разделить на старшую степень x.

Примеры. Вычислить указанные пределы:

Решение. 1) Разделив числитель и знаменатель дроби на старшую степень , получим:

2) Старшая степень в этом примере , поэтому числитель и знаменатель разделим на x:

III. При вычислении возможен случай, когда и . Тогда разность есть неопределённость . С помощью тождественных преобразований она приводится к виду или .

Пример. Вычислить предел

Решение. Приведём дроби к общему знаменателю, предварительно разложив знаменатель первой дроби по формуле разности кубов.

IV.Раскрытие степенных неопределённостей

Пусть необходимо найти .

Если при этом:

и , то имеем неопределённость ;

и , то имеем неопределённость

и , то имеем неопределённость .

Эти неопределённости раскрываются с помощью второго замечательного предела:

Используются также следствия из этой формулы:

Примеры. Вычислить указанные пределы:

Решение.

1. 1)

2. 2) Здесь , поэтому получим неопределённость вида . Так как , то . Обозначим , тогда при , причём . Найдём предел основания: . Найдём предел показателя: .Таким образом .