Краткий справочник по решению тригонометрических уравнений

I Формулы решения простейших уравнений

I

1) При или решений нет.

2) При

3) Частные случаи решения уравнений:

II

1) При или решений нет.

2) При

3) Частные случаи решения уравнений:

III

для .

IV

для .

II Основные тригонометрические формулы

1) Формулы двойного аргумента

2) Формулы половинного аргумента

3) Формулы преобразования тригонометрических функций от суммы (разности) углов (формулы сложения)

4) Формулы суммы (разности) тригонометрических функций

5) Основные тригонометрические тождества

,

III Основные методы решения тригонометрических уравнений

Метод разложения на множители

Пример ;

;

;

или

Метод введения вспомогательной переменной

Пример 1 ;

Пусть , тогда

или



Пример 2

Пусть , тогда

или

Решение однородных уравнений делением обеих частей уравнения на или . Уравнения вида называется однородным тригонометрическим уравнением I степени. Для нахождения корней уравнений этого вида обе части уравнения делят на .

Пример 1

Уравнение вида называют однородным тригонометрическим уравнением II степени. Для нахождения корней этого уравнения обе части уравнения делят на .

Пример 1

Пусть , тогда

или

Пример 2

Пусть , тогда

или

Инструкция к решению тригонометрических уравнений

1 Рассмотрите данное уравнение, выясните, нельзя ли его упростить, применив известные формулы.

2 Постарайтесь определить вид уравнения: является ли оно простейшим тригонометрическим уравнением; уравнением, сводящимся к квадратному и пр.

3 В зависимости от вида уравнения, примените формулу корней тригонометрического уравнения или замените его квадратным уравнением, или выполните другое преобразование.

4 Запишите ответ.

Пример: .

1 Данное уравнение можно упростить, применив формулу приведения. Уравнение примет вид: .

2 Полученное уравнение – квадратное относительно . Для его решения введём новую переменную и получим: .

3 Решим полученное квадратное уравнение и получим: или .

4 Возвращаясь к переменной , имеем два простейших уравнения или . Решаем их по формуле корней тригонометрического уравнения



5 Запишем ответ.

Ответ:

Вопросы для самоконтроля

1 Назовите формулы корней уравнения (общие и частные)

а) ; б) ; в) ; г)

2 Назовите основные методы решения тригонометрических уравнений.

3 Какие уравнения называют однородными тригонометрическими уравнениями I и II степени? Каков способ решения таких уравнений?

4 Какого плана следует придерживаться при решении тригонометрических уравнений.

5 Чему равен: а) ; б) ; в) ?

6 Чему равна: а) ; б) ?

7 Чему равен: а) ; б) ; в) ?

8 Чему равен: а) ; б) ; в) ?

9 Какие ещё формулы используют для преобразования тригонометрических выражений в уравнениях?