Исследуем форму распределения.

Выяснение общего характера распределения предполагает не только оценку степени его однородности, но и исследование формы распределения, т.е. оценку симметричности и эксцесса.

Симметричным считается распределение, в котором частоты двух равностоящих от центра значений признака равны между собой.

Степень асимметрии распределения в центральной его части определяется с помощью коэффициента асимметрии Пирсона.

Степень асимметрии следовательно наблюдается правосторонняя симметрия.

Коэффициент асимметрии Пирсона характеризует асимметрию только в центральной части распределения, поэтому более распространенным и более точным является коэффициент асимметрии, рассчитанный на основе центрального момента 3-его порядка.

Расчетная таблица для определения и .

№ гр	середина интервала bi	частота ni	xi–	Расчет μ3		Расчет μ4
				(xi– )3	(xi– )3 * ni	(xi– )4	(xi– )4* ni
1.	450	24	-570	-185193000	-4444632000	105560010000	2533440240000
2.	950	9	-70	-343000	-3087000	24010000	216090000
3.	1450	9	430	7950700	71556300	34188010000	307692090000
4.	1950	5	930	804357000	4021785000	748052010000	3740260050000
5.	2450	1	1430	2924207000	2924207000	4181616010000	4181616010000
6.	2950	1	1930	7189057000	7189057000	13874880010000	13874880010000
7.	3450	1	2430	14348907000	14348907000	34867844010000	34867844010000
∑	13650	50	6510	25088942700	24107793300	53812164070000	2690608203500000

Асимметрия в крайних частях распределения определяется через коэффициент асимметрии, рассчитанный на основе центрального момента третьего порядка.

, где – центральный момент третьего порядка, а – среднее квадратичное отклонение в третьей степени.

На основании вычислений можно сделать вывод, что , а значит, в целом по всему ряду наблюдается правосторонняя умеренная асимметрия.

Для одновершинных распределений рассчитывается еще один показатель оценки его формы – эксцесс. Эксцесс является показателем островершинности распределения. Он рассчитывается для симметричных распределений на основе центрального момента 4-ого порядка :

, где - центральный момент четвертого порядка, а - среднее квадратичное отклонение в четвертой степени.

По вычисленному эксцессу можно сделать вывод, что Ex>0, а значит, распределение относится к островершинным.

Теоретическое построение ряда.

Эмпирические кривые распределения, построенные на основе, как правило, небольшого числа наблюдений очень трудно описать аналитически, поэтому для выявления статистических закономерностей, сравнения и обобщения различных совокупностей аналогичных данных используются теоретические распределения.

Теоретические распределения – это хорошо изученные в теории распределения, представляющие собой зависимости между плотностями распределения и значениями признака, отражающие закономерности распределения.

Исследование формы распределения предполагает замену эмпирического распределения известным теоретическим, близким ему по форме. При этом необходимо соблюдать условие: различия между эмпирическим и теоретическим распределениями должны быть минимальными. Это означает, что сумма частот эмпирического распределения должна соответствовать сумме частот теоретического распределения, т.е., где - частота теоретического распределения. Теоретическое распределение в этом случае является некоторой идеализированной моделью эмпирического распределения, и анализ вариационного ряда сводится к сопоставлению эмпирического и теоретического распределений и определению различий между ними.

Функция нормального распределения выглядит следующим образом:

, где - относительная плотность распределения (ордината кривой нормального распределения);

, - математические константы;

- среднее значение признака в распределении;

- среднее квадратичное отклонение.

Пользоваться функцией нормального распределения в её первоначальном виде сложно, так как для каждой пары значений и σ необходимо создавать свои таблицы значений. Поэтому функцию стандартизируют и затем используют для обработки рядов распределения, для чего вводится понятие стандартного отклонения :

тогда: .

Выражение . состоит из констант, не содержит параметров, называется стандартизованной функцией нормального распределения. Для неё разработаны специальные таблицы, позволяющие находить конкретные значения при различных значениях аргумента (таблица значений функции Лапласа).

Исходная функция нормального распределения связана со стандартизированным соотношением:

.

Для получения частот теоретического распределения необходимо иметь в виду, как относительная плотность распределения связана с одной стороны с частотой , а с другой - со стандартизованной функцией нормального распределения . Эти связи выражаются следующими зависимостями:

.

С другой стороны, , таким образом, имеет место равенство:

, отсюда ; где - ширина интервала,

– объем статистической совокупности,

- среднее квадратическое отклонение,

- стандартизованная функция нормального распределения.

№ гр.	Середина интервала	Частота
1	450	24	-570	-0,79	0,292	11	13	169	15,36
2	950	9	-70	-0,09	0,3973	14	-5	25	1,78
3	1450	9	430	0,6	0,3332	12	-3	9	0,75
4	1950	5	930	1,3	0,1714	6	-1	1	0,16
5	2450	1	1430	2	0,054	2	-1	1	0,5
6	2950	1	1930	2,7	0,0104	1	0	0	0
7	3450	1	2430	3,4	0,0026	0	-1	1	0
Σ		50				45			18,55

Для определения близости эмпирического и теоретического распределений, можно построить эмпирическую и теоретическую кривые распределения. Их сопоставление позволяет оценить степень расхождения между ними.

Эмпирическую кривую строим по точкам с координатами { , }, теоретическую – по точкам с координатами { , }.

Теоретическая кривая

Для получения объективной оценки расхождения между эмпирической и теоретической кривыми распределения используются специальные статистические показатели – критерии согласия.

Наиболее часто на практике используются следующие критерия согласия:

• «хи-квадрат»- критерий (критерий Пирсона);

• «лямбда»- критерий» (критерий Колмогорова).

«Хи-квадрат». Его величина определяется по формуле:

18,5

Тогда расчётное значение выбираем по таблице при а=0,3 (уровень значимости) и (число степеней свободы данного распределения).

18,5

значит, считается, что распределения отдалены друг от друга, различия между ними существенны.

Вывод:

Целью данной работы является построение и исследование вариационного ряда. Для этого нам нужно было выполнить два этапа - эмпирическое и теоретическое исследование.

На первом этапе мы по исходным данным построили вариационный ряд, рассчитали частотные характеристики: частоту, частость, накопленную частоту, накопленную частость и графически представили вариационный ряд в виде гистограммы.

При исследовании вариационного ряда последовательно решали следующие задачи:

• Определяли положение центра распределения с помощью таких показателей, как: среднее значение признака ( км), мода (М_о=410 км), медиана (Ме=478 км) - является типичным значением совокупности, так как она нечувствительна к крайним значениям признака.

• Оценивали степень однородности распределения, используя показатели вариации: размах вариации (R=3300), дисперсия, среднеквадратичное отклонение, коэффициент вариации (V=70%). Коэффициент вариации используется для характеристики однородности исследуемой совокупности. Исследуемый ряд распределения считается неоднородным, т.к. коэффициент вариации превышает 33% и колеблемость признака – высокая.

• Исследовали форму распределения, оценивая степень асимметрии и эксцесс распределения. На основании расчёта коэффициента асимметрии Пирсона (As=0,85- асимметрия в центральной части) и коэффициента асимметрии по краям (As=1,32) можно сделать вывод, что наблюдается правосторонняя умеренная асимметрия (если |As|>0,5 то асимметрия считается значительной). По вычисленному эксцессу (Ex=10337,6) можно сделать вывод, что Ex>0, а значит, распределение относится к островершинным.

Второй этап - теоретическое исследование, в котором анализ вариационного ряда сводится к сопоставлению эмпирического и теоретического распределений и определению различий между ними. Для построения теоретического распределения воспользовались функцией нормального распределения: ,.

Рассчитали стандартное отклонение , и теоретическую частоту. После сравнения суммы эмпирических частот с суммой теоретических частот, пришли к выводу, что теоретический аналог подобран верно. Наглядно это видно на графике кривых распределения.

Для получения объективной оценки расхождения между кривыми используют критерии согласия. В нашем случае условие выполняется, значит, считается, что распределения отдалены друг от друга, различия между ними существенны. ( 18,5 , 18,5 ).