Практическая работа № 2 Системы счисления Двоичная сс. Шестнадцатиричная сс. Восьмеричная сс
Система счисления – это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами. Все СС делятся на 2 большие группы: позиционные и непозиционные (например, римская СС).
Алфавит СС – все символы, служащие для обозначения цифр в СС.
Основание СС – количество символов в алфавите СС.
Развернутая форма записи числа – умножение цифр числа на различные степени основания СС. Число записывается в виде суммы числового ряда степеней основания (в данном случае 10), в качестве коэффициентов которых выступают цифры данного числа.
Например:
198610=1*1000+9*100+8*10+6*1
Двоичное число – число, записанное в двоичной СС.
Умножение или деление двоичного числа на 2 (основание) приводит к перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной на один разряд право или влево.
101,01 * 2 = 1010,1
101,01 / 2 = 10,101
Теперь переведем число 1986 в 2СС. Для этого нужно ответить на вопрос, какая степень двойки наиболее близка к числу 1986, так чтобы эта степень была меньше самого числа. Далее, записав число в виде суммы, но уже степеней двойки, мы выписываем все двойки во всех степенях, начиная с самой большой, которая встречается в нашей записи и до нуля. Причем, если в предыдущей записи такая степень двойки не встречалась, то коэффициент при ней ставим 0. Общий результат от этого не изменится, так как если на нуль умножить эту степень двойки, то это слагаемое превратится в нуль.
198610=1024+512+256+128+64+2=210+29+28+27+26+21=
=1*210+1*29+1*28+1*27+1*26+0*25+0*24+0*23+0*22+1*21+0*20
Коэффициенты перед степенью двойки образуют число, как это было и в предыдущем примере. У нас получилось то же число, но записанное в 2СС.
Двоичная арифметика
Таблица сложения одноразрядных двоичных чисел
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=10
При сложении двух единиц – переполнение разряда и перенос в старший разряд. Переполнение разряда происзодит тогда, когда числа в нем становятся равными или большим основанием. Для ДСС это число равно 2.
Вычитание. В основе – таблица вычитания одноразрядных двоичных чисел. При вычитании из меньшего числа (0) большего (1) производится заем из старшего разряда.
0-0=0
0-1=11
1-0=1
1-1=0
Умножение.
0*0=0
0*1=0
1*0=0
1*1=1
Деление. Подобно алгоритму выполнения операции деления в 10ичной СС.
Числа могут быть записаны в естественной или экспоненциальной форме. Естественной формой называется обычная запись чисел, например, 3,14 или 10000.
Экспоненциальная форма чисел обычно используется для записи либо очень больших, либо очень маленьких чисел, которые в обычной естественной форме содержат большое количество незначащих нулей . Числа в ЭФ могут быть записаны в 10CC, 2CC и любой другой СС. Число А в любой СС в ЭФ имеет вид:
А=m*qn
Где m – мантисса числа, правильная дробь, имеющая после запятой цифру, отличную от нуля,
q – основание СС,
n – порядок числа.
СС |
Естественная форма |
Экспоненциальная форма |
Десятичная |
16000000000000000 |
1,6*10 16 |
|
0,00000000000000016 |
1,6*10 –16 |
Двоичная |
11000000000000000 |
1,1 * 2 16 |
|
0,00000000000000011 |
1,1*2 -16 |