Федеральное агентство по образованию

ФГОУ СПО Тульский экономический колледж

Специальность: 230105 ПЦК

№5

Борисова Маргарита Петровна

Разработка программы «Определение оптимального срока замены оборудования»

Курсовой проект

По дисциплине: «Математические методы»

Руководитель: Юрченко В.Н.

Щекино 2009г.

Задание на курсовой проект

По дисциплине: «Математические методы»

Студентки группы 315-«П»

Борисовой Маргариты Петровны

Специальность: 230105 Программное обеспечение вычислительной

техники и автоматизированных систем

Тема: Разработка программы «Определение оптимального срока замены оборудования »

Выполнить:

1. Разработать программу в среде Delphi.

2. В программе организовать меню с пунктами файл, правка, помощь.

3. Разработать форму выходного документа.

4. Разработать схему работы системы.

5. Оформить пояснительную записку.

Разделы пояснительной записки следующие:

• Реферат.

• Введение.

• Постановка задачи.

• Алгоритм решения.

• Отладочный пример.

• Описание входной и выходной информации.

• Программно технические средства, используемые при разработке программы.

• Описание программы.

1.Назначение программы.

2.Система меню и экранных форм.

• Заключение.

Содержание

Реферат

Введение

1 .Постановка задачи

2.Алгоритм решения задачи

3.Форма входного документа

4.Форма выходного документа

5.Описание программно-технических средств

6. Отладочный пример

7.Описание программы

8.Список используемой литературы

9.Заключение

Приложение А, формы программы

Приложение В, листинг программы

Реферат

Курсовой проект состоит из пояснительной записки и графической части. Пояснительная записка состоит из 35 страниц, включая приложения.

Пояснительная записка представлена в следующих пунктах:

• Постановка задача;

• Программно-технические средства;

• Описание программного средства;

• Приложение А. Графическое представление форм программы;

• Приложение Б. Исходный текст программы.

В графической части, выполненной на формате А1, представлена схема работы программы.

Введение

В ряде реальных экономических и производственных задач необходимо учитывать изменение моделируемого процесса во времени и влиянии времени на критерий оптимальности. Для решения указанных задач используется метод динамического планирования (динамическое планирование). Этот метод более сложен по сравнению с методами расчета статических оптимизационных задач, изложенных выше. Также не простым делом является процесс построения для реальной задачи математической модели динамического программирования.

Постановка задачи динамического программирования. Основные условия и область применения.

Пусть рассматриваемая задача, распадающаяся на m шагов или этапов, например планирование деятельности предприятия на несколько лет, поэтапное планирование инвестиций, управление производственными мощностями в течение длительного срока. Показатель эффективности задачи в целом обозначим через W, а показатели эффективности на отдельных шагах – через φi, i=1,m. Если W обладает свойством аддитивности, т.е.

m

W=∑ φi ,

I=1

То можно найти оптимальное решение задачи методом динамического программирования.

Таким образом, динамическое программирование – это метод оптимизации многошаговых или многоэтапных процессов, критерий эффективности которых обладает свойством. В задачах динамического программирования критерий эффективности называется выигрышем. Данные процессы управляемые, и от правильного выбора управления зависит величина выигрыша.

Переменная хi, от которой зависят выигрыш на i-м шаге и, следовательно,

выигрыш в целом, называется шаговым управлением, i= .

Управлением процесса в целом (х) называется последовательность шаговых управлений х=(х₁, х₂,…,хi,…,х_m).

Оптимальное управление х^* - это значение управления х, при котором значение W (х^*) является максимальным (или минимальным, если требуется уменьшить проигрыш)

W*=W (х^*)=max{W (х)}, x€X,

где X – область допустимых управлений.

Оптимальное управление х* определяется последовательностью оптимальных шаговых управлений

х^*=(х*1,х*2,…,х*i, ,х*m).

В основе метода динамического программирования лежит принцип оптимальности Беллмана, формулирующийся следующим образом; управление на каждом шаге надо выбирать так, чтобы оптимальной была сумма выигрышей на всех оставшихся до юнца процесса шагах, включая выигрыш на данном шаге.

При решении задачи динамического программирования на каждом шаге выбирается управление, которое должно привести к оптимальному выигрышу. Если считать все шаги независимыми друг от друга, то оптимальным шаговым управлением будет то управление, которое приносит максимальный выигрыш именно на этом шаге. Но, например, при покупке новой техники взамен устаревшей на ее приобретение затрачиваются определенные средства. Поэтому прибыль от ее эксплуатации, вначале может быть небольшой. Однако в следующие годы новая техника будет приносить большую прибыль. И, наоборот, если руководитель примет решение оставить старую технику для получения прибыли в текущем году, то в дальнейшем это приведет к значительным убыткам. Данный пример демонстрирует следующий факт: в многошаговых процессах все шаги зависят друг от друга, и, следовательно, управление на каждом конкретном шаге надо выбирать с учетом его будущих воздействий на весь процесс.

Другой момент, который следует учитывать при выборе управления на данном шаге, - это возможные варианты окончания предыдущего шага. Эти варианты определяют состояние процесса. Например, при определении количества средств, вкладываемых в предприятие в i-м году, необходимо знать, сколько средств осталось в наличии к этому году, какая прибыль получена в предыдущем (i-м) году. Таким образом, при выборе шагового управления необходимо учитывать:

1) возможные исходы предыдущего шага

2) влияние управления на все оставшиеся до конца процесса шаги.

В задачах динамического программирования первый пункт учитывают, делая на каждом шаге условные предположения о возможных вариантах окончания предыдущего шага и проводя для каждого из вариантов условную оптимизацию. Выполнение второго пункта обеспечивается тем, что в задачах динамического программирования условная оптимизация проводится от конца процесса к началу. Сперва оптимизируется последний m-й шаг, на котором не надо учитывать возможные воздействия выбранного управления x_m на все последующие шаги, так как эти шаги просто отсутствуют. Делая предположения об условиях окончания (m-1)-го шага, для каждого из них проводят условную оптимизацию m-го шага и определяют условное оптимальное управление x_m. Аналогично поступают для (m-1)-го шага, делая предположения о исходах окончания (m-2)-го шага и определяя условное оптимальное управление на (m-1)-м шаге, приносящее оптимальный выигрыш на двух последних шагах – (m-1)-м и m-м. Так же действуют на всех остальных шагах до первого. На первом шаге, как правило, не надо делать условных предположений, так, как состояние системы перед первым шагом обычно известно.

Для этого состояния выбирают оптимальное шаговое управление, обеспечивающее оптимальный выигрыш на первом и всех последующих шагах. Это управление является безусловным оптимальным управлением на первом шаге и, зная его, определяются оптимальное значение выигрыша и безусловные оптимальные управления на всех шагах.

Составление математической модели динамического программирования.

Дополнительно введем следующие условные обозначения:

S – Состояние процесса;

S_i - множество возможных состояний процесса перед i-м шагом;

W_i – выигрыш с i-го шага до конца процесса, i=

Можно определить следующие основные этапы составления математической модели задачи динамического программирования.

1.Разбиение задачи на шаги (этапы). Шаг не должен быть слишком мелким, чтобы не проводить лишних расчетов и не должен быть слишком большим, усложняющим процесс шаговой оптимизации.

2. Выбор переменных, характеризующих состояние s моделируемого процесса перед каждым шагом, и выявление налагаемых на них ограничений. В качестве таких переменных следует брать факторы, представляющие интерес для исследователя.

3.Определение множества шаговых управлений x_i, i= и налагаемых на них ограничений, т.е. области допустимых управлений x.

4. Определение выигрыша

φ_i(s, x_i), (1.1)

который принесет на i-м шаге управление x_i, если система перед этим находилась в состоянии s.

5.Определение состояния s’, в которое переходит система из состояния s под влиянием управления x_i,

s’=f_i(s, x_i), (1.2)

где f_i - функция перехода на i-м шаге из состояния s в состояние s’.

6. Составление уравнения, определяющего условный оптимальный выигрыш на последнем шаге, для составления s моделируемого процесса

W_m(S)=max{φ_m(s,x_m)}. (1.3)

x_m€X

7. Составление основного функционального управления динамического программирования, определяющего условный оптимальный выигрыш для данного состояния s с i-го шага и до конца процесса через уже известный условный оптимальный выигрыш с (i+1)-го шага и до конца:

Wi(S) = max{ φ_i(s,x_i)+ W_i+1(fi(s,x_i))}. (1.4)

x_m€X

В это уравнение в уже известную функцию W_i+1(s), характеризующую условный оптимальный выигрыш с (i+1)-го шага до конца процесса, вместо состояния s подставлено новое состояние s’=f_i (s,x_i), в которое система переходит на i-м шаге под влиянием управления x_i.

Заметим, что структура модели динамического программирования отличается от статической модели линейного программирования. Действительно, в моделях линейного программирования, управляющие переменные – это одновременно и переменные состояния моделируемого процесса, а в динамических моделях отдельно вводятся переменные управления x_i, и переменные, характеризующие изменение состояния s под влиянием управления. Таким образом, структура динамических моделей более сложная, что естественно, так как в этих моделях дополнительно учитывается фактор времени.

Этапы решения задачи динамического программирования.

После того как выполнены пункты 1-7, и математическая модель составлена, приступают к ее расчету.

Основные этапы решения задачи динамического программирования:

1. Определение множества возможных состояний S_m для последнего шага.

2. Проведение условной оптимизации для каждого состояния s€ S_m на последнем m-м шаге по формуле (1.3) и определение условного оптимального управления x(s), s€ S_m

3. Определение множества возможных состояний S_i для i-го шага, i=2,3…,m-1.

4. Проведение условной оптимизации i-го шага, i=2,3…,m-1 для каждого состояния s€ S_m по формуле (1.4) и определение условного оптимального управления x_i (s), s€ S_m , i=2,3…,m-1.

5. Определение начального состояния системы s₁, оптимального выигрыша W1(S1) и оптимального управления x1(S1) по формуле (1.4) при i=1. Это есть оптимальный выигрыш для всей задачи W* =W₁(x₁*).

6. Проведение безусловной оптимизации управления. Для проведения безусловной оптимизации необходимо найденное на первом шаге оптимальное управление x₁*=x₁(s₁) подставить в формулу (1.2) и определить следующее состояние системы s₁=f₁(s₁,x₁). Для измененного состояния найти оптимальное управление x₂*=x₂(s₂), подставить в формулу (1.2) и т.д. Для i-го состояния s₁ найти s_i+1=f_i+1(s_i,x_i*) и x*_i+1(s_i+1) и т.д.

Постановка задачи

Одной из важных экономических проблем, с которыми приходиться встречаться на практике, является определение оптимальной стратегии в замене старых станков, производственных зданий, агрегатов, машин и т.д., другими словами, старого оборудования на новое.

Старение оборудования включает его физический и моральный износ, в результате чего увеличиваются производственные затраты по выпуску продукции на старом оборудовании, увеличиваются затраты на его ремонт и обслуживание, а вместе с тем снижаются производительность и так называемая ликвидная стоимость.

Наступает момент, когда старое оборудование более выгодно продать, заменить новым, чем эксплуатировать ценой больших затрат. При этом оборудование можно заменить либо новым оборудованием того же вида, либо новым, более совершенным в техническом отношении, с учетом технического прогресса.

Оптимальная стратегия замены оборудования состоит в определении оптимальных сроков замены. Критерием оптимальности при определении сроков замены может служить либо прибыль от эксплуатации оборудования, которую следует максимизировать, либо суммарные затраты на эксплуатацию в течение рассматриваемого промежутка времени, подлежащие минимизации. Известно, что при заданном плане выпуска продукции максимизация прибыли эквивалентна минимизации затрат. Практически удобнее пользоваться вторым критерием, вводя для учета снижения производительности, условно приведенные затраты.

Условимся считать, что решения о замене оборудования принимаются периодически в начале каждого промежутка (года, месяца, недели и т.д.), на которые разбит плановый период. Предположим также, что оборудование может использоваться неограниченно долго, если тратить достаточные суммы на его ремонт.

Основной характеристикой оборудования является его возраст. От возраста оборудования зависят эксплуатационные расходы, затраты на производство, производительность и ликвидная стоимость. Эти показатели изменяются, если учитывать технический прогресс, не только при замене старого оборудования новым, с новыми технико-экономическими характеристиками, но и новым того же типа, еще не использованным. В последнем случае изменение вызвано моральным износом.

Метод ДП обеспечивает единый подход к решению всех видов задач о замене.

При составлении модели ДП мы рассматриваем процесс замены как n-шаговый, разбив весь плановый период на n промежутков. Тка как в начале каждого из этих промежутков принимается решение либо о сохранении оборудования, либо о его замене, то управление на k-м шаге (k=1,…,n) содержит всего лишь две альтернативные переменные. Одна выражает условную прибыль (условные затраты) при управлении u^c, другая тот же показатель при управлении u^з. Условная оптимизация на каждом шаге состоит в вычислении двух величин и в выборе из них наибольшей (наименьшей).

Это значительно упрощает расчеты на стадии условной оптимизации и позволяет решать вручную задачи о замене оборудования с большим числом шагов.