Распределительный метод решения транспортной задачи

Пусть дан некоторый опорный план. Для каждой свободной клетки таблицы перевозок вычислим алгебраические суммы стоимостей в вершинах цикла _ij. Так, для клетки (4,1) получим

₄₁ = 6 – 5 + 4 – 3 + 1 – 2 = 1.

Если все _ij неотрицательны (_ij  0), то задача решена, т.е. найден оптимальный план перевозок.

Допустим, есть хотя бы одно отрицательное значение _ij, тогда среди отрицательных _ij выбираем наименьшее и для этой клетки i₀, j₀ делаем сдвиг по циклу пересчета на величину ₀, равную наименьшей из перевозок, стоящих в отрицательных вершинах цикла. Полученный новый опорный план будет лучше предыдущего, при этом целевая функция уменьшится на величину ₀  .

Замечания:

1. Каждая сумма _ij начинается с положительного числа и кончается отрицательным. Количество всех слагаемых четное.

2. Если опорный план вырожденный, то возможен сдвиг по циклу пересчета на величину  = 0. При этом значение целевой функции не изменится, а изменятся базисные клетки.

Найдем решение задачи, первоначальный опорный план которой получен методом северо-западного угла, и введем дополнительное условие: груз из пункта А₂ в пункт В₃ не может быть доставлен:

	В1	В2	В3	В4		Для всех свободных клеток вычислим ij: 13 = 2 – 1 + 3 – 4 = 0, 14 = 5 – 1 + 2 – 1 + 3 – 4 = 4, 21 = 6 – 5 + 4 – 1 = 4, 23 = М – 1 + 3 – 1 = М + 1, 24 = 3 – 1 + 2 – 1 + 3 – 1 = 5,
А1	- 20 5	+ 10 4	2	5	30
А2	6	70 1	М	3	70
А3	+ 2 	- 3 10	1 40	8	50
А4	6	3	30 2	1	100
	20	90	70	70

₃₁ = 2 – 3 + 4 – 5 = -2, ₃₄ = 8 – 1 + 2 – 1 = 8,

₄₁ = 6 – 5 + 4 – 3 + 1 – 2 = 1, ₄₂ = 3 – 3 + 1 – 2 = -1.

Поскольку не все _ij  0, план перевозок неоптимален. Среди _ij < 0 выбираем наименьшее. Это ₃₁ = -2. Делаем сдвиг по циклу пересчета для свободной клетки (3,1) на величину ₀. Этот цикл проходит через базисные клетки (1,1), (1,2) и (3,2). В этом цикле две отрицательные клетки (1,1) и (3,2). Им соответствуют перевозки 20 и 10. В качестве ₀ выбираем меньшее из этих чисел, т.е. ₀ = 10. После сдвига по циклу пересчета на величину ₀ переходим к следующему опорному плану:

	В1	В2	В3	В4		Делаем второй шаг распределительного метода. Находим значения ij для всех свободных клеток 13 = 2 – 5 + 2 – 1 = -2, 14 = 5 – 1 + 2 – 1 + 2 – 5 = 2, 21 = 6 – 5 + 4 – 1 = 4, 23 = М – 1 + 4 – 5 + 2 - 1 = = М – 1  0,
А1	- 10 5	20 4	+  2	5	30
А2	6	70 1	М	3	70
А3	+ 2 10	3	- 1 40	8	50
А4	6	3	30 2	70 1	100
	20	90	70	70

₂₄ = 3 – 1 + 4 – 5 + 2 – 1 + 2 – 1 = 3,

₃₂ = 3 – 4 + 5 – 2 = 2,

₃₄ = 8 – 1 + 2 – 1 = 8,

₄₁ = 6 – 2 + 1 – 2 = 3,

₄₂ = 3 – 4 + 5 – 2 + 1 – 2 = 1.

f(х) = 10  5 + 20  4 + 70  1 + 10  2 + 40  1 + 30  2 + 70  1 = 390.

Делаем сдвиг по циклу пересчета для свободной клетки (1,3) на величину ₀ = 10. Переходим к новому опорному плану:

	В1	В2	В3	В4		Найдем ij для этой таблицы 11 = 5 – 2 + 1 – 2 = 2, 14 = 5 – 2 + 2 – 1 = 4, 21 = 6 – 1 + 4 – 2 + 1 – 2 = 6, 23 = М – 2 + 4 – 1 = М + 1, 24 = 3 – 1 + 4 – 2 + 2 – 1 = 5, 32 = 3 – 4 + 2 – 1 = 0, 34 = 8 – 1 + 2 – 1 = 8,
А1	5	- 20 4	+ 10 2	5	30
А2	6	70 1	М	3	70
А3	10 2	3	30 1	8	50
А4	6	+ 3 	- 2 30	1 70	100
	20	90	70	70

₄₁ = 6 – 2 + 1 – 2 = 3, ₄₂ = 3 – 4 + 2 – 2 = -1.

f(х) = 20  4 + 10  2 + 70  1 + 20  2 + 30  1 + 30  2 + 70  1 = 370.

Делаем сдвиг по циклу пересчета для свободной клетки (4,2) на величину ₀ = 20. Переходим к новому опорному плану:

	В1	В2	В3	В4		Определим значения ij 11 = 5 – 2 + 1 – 2 = 2, 12 = 4 – 2 + 2 – 3 = 1, 14 = 5 – 1 + 2 – 2 = 4, 21 = 6 – 1 + 3 – 2 + 1 – 2 = 5, 23 = М – 1 + 3 – 2 = М  0, 24 = 3 – 1 + 3 – 1 = 4,
А1	5	4	30 2	5	30
А2	6	70 1	М	3	70
А3	20 2	3	30 1	8	50
А4	6	20 3	10 2	70 1	100
	20	90	70	70

₃₂ = 3 – 3 + 2 – 1 = 1, ₃₄ = 8 – 1 + 2 – 1 = 8, ₄₁ = 6 – 2 + 1 – 2 = 3.

f(х) = 30  2 + 70  1 + 20  2 + 30  1 + 20  3 + 10  2 + 70  1 = 350.

Для этого плана все _ij > 0. Следовательно, этот опорный план оптимальный.