Курс лекций “Численные методы”

Лекция 6

3.2 Квадратурные формулы интерполяционного типа

Будем рассматривать формулы приближенного вычисления интегралов

, (3.25)

где заданная интегрируемая функция (так называемая весовая функция) и достаточно гладкая функция. Рассматриваемые далее формулы имеют вид

, (3.26)

где и числа, .

В отличие от предыдущего параграфа не будем разбивать отрезок на частичные отрезки, а получим квадратурные формулы путем замены интерполяционным многочленом сразу на всем отрезке . Полученные таким образом формулы называются квадратурными формулами интерполяционного типа. Как правило, точность таких формул возрастает с увеличением числа узлов интерполирования. Рассмотренные в п. 3.1 формулы прямоугольников, трапеции и Симпсона являются частными случаями квадратурных формул интерполяционного типа, когда , .

Получим выражения для коэффициентов квадратурных формул интерполяционного типа. Пусть на отрезке заданы узлы интерполирования , . Предполагается, что среди этих узлов нет совпадающих, в остальном они могут быть расположены как угодно на .

Функцию будем заменять интерполяционным полиномом Лагранжа (см. лекция 2, формула (2.4))

,

Часто выражение записывают в другом виде. Введем многочлен степени

и вычислим его производную в точке :

Тогда получим, что

Заменяя в интеграле (3.25) функцию интерполяционным многочленом Лагранжа

, (3.27)

получим приближенную формулу (3.26) (доказать, дом. зад. №4), где

, . (3.28)

Таким образом, формула (3.26) является квадратурной формулой интерполяционного типа тогда и только тогда, когда ее коэффициенты вычисляются по правилу (3.28).

3.3 Метод Гаусса вычисления определенных интегралов

В предыдущем параграфе предполагалось, что узлы квадратурных формул заданы заранее. Можно показать, что если использовать узлов интерполяции, то получим квадратурные формулы, точные для алгебраических многочленов степени . Оказывается, что за счет выбора узлов можно получить квадратурные формулы, которые будут точными и для многочленов степени выше . Рассмотрим следующую задачу: построить квадратурную формулу

, (3.29)

которая при заданном была бы точна для алгебраического многочлена возможно большей степени. Здесь для удобства изложения нумерация узлов начинается с .

Такие квадратурные формулы существуют. Они называются формулами Гаусса. Эти формулы точны для любого алгебраического многочлена степени .

Итак, потребуем, чтобы квадратурная формула (3.29) была точна для любого алгебраического многочлена степени . Это эквивалентно требованию, чтобы формула была точна для функций , . Отсюда получаем условия

, , (3.30)

которые представляют собой нелинейную систему уравнений относительно неизвестных

.

Для того, чтобы число уравнений равнялось числу неизвестных, надо потребовать .

При рассмотрении квадратурных формул (3.29) общего вида, введем многочлен

. (3.31)

Будем полагать, что .

Теорема 1. Квадратурная формула (3.29) точна для любого многочлена степени тогда и только тогда, когда выполнены два условия:

1. Многочлен ортогонален с весом любому многочлену степени меньше , т.е.

. (3.32)

2. Формула (3.29) является квадратурной формулой интерполяционного типа, т.е.

, . (3.33)

Без доказательства.

Использование теоремы 1 существенно упрощает построение формул Гаусса.

Условие (3.32) эквивалентно требованиям

, , (3.34)

которые представляют собой систему уравнений относительно неизвестных . Таким образом, для построения формул Гаусса достаточно найти узлы из соотношений ортогональности (3.34) и затем вычислить коэффициенты согласно (3.33).

Рассмотрим несколько частных случаев, когда решение системы (3.34) можно найти непосредственно.

Пусть , , . При получаем и

,

,

(получить решение, дом. зад. №4).