Курс лекций “Численные методы”
Лекция 3
2.5 Интерполяционная формула Ньютона
Эта формула
позволяет выразить интерполяционный
многочлен
через значение функции в одном из узлов
и разделенные разности функции
,
построенные по узлам
.
Она является разностным аналогом формулы
Тейлора
Мы получили формулу
(2.8) для разделенной разности
-го
порядка
.
(2.10)
В общем случае
Интерполяционным многочленом Ньютона называется многочлен
(2.11)
Можно показать,
что многочлен Ньютона
,
определяемый по формуле (2.11), совпадает
с многочленом Лагранжа
,
определяемым по формуле (2.4).
Подчеркнем, что формулы (2.4) и (2.11) представляют собой различную запись одного и того же многочлена
,
удовлетворяющего условиям интерполирования
.
Интерполяционную
формулу Ньютона удобно применять в том
случае, когда интерполируется одна и
та же функция
,
но число узлов интерполяции постепенно
увеличивается. Если число узлов
интерполяции фиксированы и интерполируется
не одна, а несколько функций, то удобнее
пользоваться формулой Лагранжа.
Замечание.
При выводе формулы (2.11) не предполагается,
что узлы
расположены в каком-то определенном
порядке. Поэтому роль точки
в формуле (2.11) может играть любая из
точек
.
Соответствующее множество интерполяционных
формул можно получить из (2.11) перенумерацией
узлов. Например, тот же самый многочлен
можно представить в виде
(2.12)
Формула (2.11) называется формулой интерполирования вперед, а формула (2.12) называется формулой интерполирования назад.
Поскольку многочлены Лагранжа и Ньютона отличаются только формой записи, представление погрешности в виде (2.5):
,
справедливо как для формулы Лагранжа, так и для формулы Ньютона. Можно доказать, что погрешность интерполирования можно представить через разделенную разность:
.
(2.13)
Сопоставляя (2.5) и
(2.13) , видим, что существует точка
,
для которой
=
.
(2.14)
Формула (2.14)
устанавливает связь между разделенной
разностью порядка
и
-й
производной функции
.
2.6 Оптимальный выбор узлов интерполирования
Величину
,
входящую в оценку (2.13), можно минимизировать
за счет выбора узлов интерполирования.
Задача состоит в том, чтобы подобрать
узлы
,
так, чтобы минимизировать величину
.
Эта задача решается с помощью многочлена Чебышева
,
(2.15)
причем в качестве узлов интерполирования надо взять корни многочлена (2.15), т.е. точки
,
.
При этом
и оценка остаточного члена примет вид
,
(2.16)
где
.
2.7 О сходимости интерполяционного процесса
Возникает вопрос,
будет ли стремиться к нулю погрешность
интерполирования
,
если число узлов сетки
неограниченно возрастает. Ответ, вообще
говоря, отрицательный.
Сформулируем
определение скорости сходимости
интерполяционного процесса. Множество
точек
,
таких, что
называется сеткой
на отрезке
и обозначается через
.
До сих пор предполагалось, что число
узлов интерполяции фиксировано. Переходя
к изучению сходимости, необходимо
рассмотреть последовательность сеток
с возрастающим числом узлов:
,
,
...,
,
...
Пусть функция
определена и непрерывна на
.
Тогда можно задать последовательность
интерполяционных многочленов
,
построенных для функции
по ее значениям в узлах сетки
.
Говорят, что
интерполяционный процесс для функции
сходится в точке
,
если существует
.
Кроме поточечной
сходимости рассматривается сходимость
в различных нормах. Например, равномерная
сходимость на отрезке
означает, что
.
Свойство сходимости или расходимости интерполяционного процесса зависит как от выбора последовательности сеток, так и от гладкости функций .
Известны примеры
несложных функций, для которых
интерполяционный процесс расходится.
Так, последовательность интерполяционных
многочленов, построенных для непрерывной
функции
по равномерноотстоящим узлам на отрезке
,
не сходится к функции
ни в одной точке отрезка
,
кроме точек
.
С другой стороны, для заданной непрерывной функции можно добиться сходимости за счет выбора расположения узлов интерполяции. То есть, если непрерывна на , то найдется такая последовательность сеток, для которой соответствующий интерполяционный процесс сходится равномерно на .
Следует заметить, что построить такие сетки чрезвычайно сложно и, кроме того, для каждой функции требуется своя сетка. В практике вычислений избегают пользоваться интерполяционными многочленами высокой степени. Вместо этого применяются кусочнополиномиальная интерполяция, которая будет рассмотрена ниже.