Примеры дискретных случайных величин.
Число бракованных изделий из каждой сотни готовых изделий, выпущенных данным предприятием. Это число случайным образом меняется от одной сотни изделий к другой. Возможные значения данной дискретной случайной величины: 0, 1, 2, 3, 4 и так далее — вплоть до 100 (ведь теоретически в какой-то партии все сто изделий могут оказаться бракованными, хотя это и маловероятно).
Стрелок сделал n выстрелов. Число попаданий в цель — случайная величина; ее возможные значения: 0, 1, 2, 3, ..., n.
Число родившихся девочек в каждой сотне новорожденных,
Число ростков, появившихся на свет из каждой сотни посаженных в почву семян,
Число страниц в книге, на которых обнаружена хотя бы одна опечатка,
Число ограблений, зарегистрированных в городе в течение, скажем, месяца,
Число вызовов, поступивших от абонентов на телефонную станцию в течение суток,
Сумма, которую может получить некий человек, приобретя лотерейный билет...
Думаю, что примеров вполне достаточно. Подобные примеры хорошо знакомы. Мы с ними много раз встречались в данной книге. Получается, что мы уже давно работаем, не ведая того, с дискретными случайными величинами!
Это действительно так. Уместно вспомнить господина Журдена из комедии Мольера «Мещанин во дворянстве». Этот господин был немало удивлен, узнав, что всю жизнь говорит прозой. Несмотря на то, что о прозе никогда не слышал и говорить прозой не обучался.
Почему же мы раньше не ввели понятие случайной величины?
По той простой причине, что можно было вполне обойтись
без него.
Но тогда зачем мы теперь вводим это понятие?
В процессе ознакомления с теорией вероятностей мы вышли на новые рубежи. Выражаясь определённее, мы вышли на задачи, решение которых требует использования понятия случайной величины и, в частности, таких специальных понятий как «математическое ожидание», «дисперсия», «среднее квадратичное отклонение», «доверительный интервал».
Предыдущая тема была посвящена рассмотрению числа «успехов» в серии независимых испытаний. А ведь это число «успехов» есть не что иное как дискретная случайная величина.
Совершенно верно. Поэтому можно воспринимать предыдущую тему как хороший пример, позволяющий познакомиться с понятием случайной величины. А теперь мы продолжим знакомство со случайными величинами в более общем плане. И хотя мы вынуждены ограничиться здесь дискретными случайными величинами, однако некоторые выходы на непрерывные случайные величины будут, конечно, сделаны.
Примеры непрерывных случайных величин.
Длительность непрерывного горения электрической лампочки. Нельзя сколь-либо определенно предсказать время, в течение которого данная лампочка будет светиться. По истечении некоторого срока (как правило, измеряемого тысячами часов) лампочка может перегореть в любой момент в силу тех или иных случайных обстоятельств. Срок непрерывной работы случайным образом меняется от лампочки к лампочке.
Артиллерист наводит орудие на цель, старается сделать это как можно тщательнее. Однако при всем своем старании он не может гарантировать попадание снаряда в указанное место. Как дальность полёта, так и угол отклонения от направления на цель оказываются непрерывными случайными величинами; их значения меняются от выстрела к выстрелу под воздействием различных случайных факторов. Среди них и случайные порывы ветра, и случайные отклонения массы снаряда от стандартной, и погрешности наводки, и непредсказуемые особенности развития процесса взрыва, выбрасывающего снаряд из ствола орудия. Недаром существует такое понятие как «рассеивание снарядов»: при стрельбе из одного и того же орудия на одном и том же прицеле и при, казалось бы, неизменных условиях снаряды тем не менее ложатся в разных местах.
Время преодоления спортсменом заданной дистанции и дальность прыжка спортсмена или посланного им спортивного снаряда (молота, копья, диска, ядра) являются, очевидно, непрерывными случайными величинами. Значения этих величин (иначе говоря, спортивные результаты) зависят не только от степени подготовленности спортсмена, но и от многих факторов случайного характера — влияния ветра, особенностей движений спортсмена при выполнении соответствующего упражнения, физического и психического состояния спортсмена в данный момент и т. д.
Наверное, мы встречаемся с непрерывными случайными величинами значительно чаще, чем с дискретными?
Ваша догадка вполне справедлива. Так называемые «случайные обстоятельства» и «случайные факторы» не всегда проявляются так явно, как во время стрельб или спортивных соревнований.
Возьмем, например, яблоню, ветви которой гнутся под тяжестью созревших плодов. Понятно, что у разных яблок будет разная масса. Это связано с тем, что процесс развития каждого яблока протекал со своими особенностями, которые случайным образом менялись от одного плода к другому. «Случайные факторы» действовали и тут, хотя и не столь открыто. Таким образом, массу яблока также можно рассматривать как непрерывную случайную величину.
Если число детей, родившихся в данном роддоме в течение, скажем, месяца есть дискретная случайная величина, то масса и длина этих новорожденных являются непрерывными случайными величинами.
Если количество ростков, появившихся на свет из каждой сотни посаженных в почву семян, есть дискретная случайная величина, то масса тех семян, что проросли, а также высота ростков спустя определенное время после посева являются непрерывными случайными величинами.
Я заметил, что дискретные случайные величины выражаются, как правило, через натуральные числа. Надо подсчитать количество соответствующих исходов — и тем самым будет получено одно из значений дискретной случайной величины. А вот с непрерывными случайными величинами связаны измерения. Измеряем дальность полета
артиллерийского снаряда или копья. Измеряем время преодоления спортсменом данной дистанции. Измеряем массу и длину новорожденных.
Ваше замечание весьма кстати. Действительно, чтобы выявить те или иные значения непрерывной случайной величины, надо выполнить соответствующие измерения. А сам по себе измерительный акт всегда связан с погрешностями. Иначе говоря, всякое измерение выполняется с какой-то степенью точности. Совершенствуя измерительное устройство и сам процесс измерения, мы можем увеличивать степень точности измерения и тем самым уменьшать погрешность измерения. Однако все равно нам не удастся получить «абсолютно точный» результат. Этого не допустят неуловимые случайные факторы, неизбежно проявляющиеся в годе измерения и связанные, в частности, со случайными процессами внутри измерительного устройства. На основе теории вероятностей разработана специальная теория, исследующая погрешности измерений, — так называемая теория ошибок.
Получается, что результат любого измерения — это всего лишь одно из возможных значений некоторой непрерывной случайной величины?
Одно из возможных значений в пределах погрешности измерения. Значит, если я, например, попрошу в магазине взвесить сто граммов колбасы, то получу всего лишь одно из возможных значений массы колбасы, а не именно сто граммов?
Конечно. Вы получите одно из значений массы колбасы, которые находятся в интервале от 95 г до 105 г — ведь весы в магазине измеряют массу колбасы с точностью до 5 г.
Никогда бы не подумал, что взвешивание ста граммов колбасы также является случайным событием, исходом которого оказывается одно из значений непрерывной случайной величины.
Без сомнения, продавщица тоже не подозревает о том, что ее профессиональная деятельность причастна к теории вероятностей.
Домашнее задание: записать 5 дискретных и 5 непрерывных случайных величин.
Дополнительно:
доклады о случайных величинах
опыт или наблюдение, результатами которых являются случайные величины (обязательно указание цели, хода испытания, таблица с результатами и вывод о достижении цели)