Матан(ответы,)
.docx
Тогда при l<1 ряд сходится, а при l>1, расходится.
При l=1 неопределено.
Даламбера:
Пусть
-положительный
ряд. Рассмотрим последовательность
.
Если начиная с некоторого номера
,
если 0<q<1,
ряд сходится.
Раабе:
Пусть существует
конечный или нет. Если r>1, ряд сходится,
если r<1
ряд расходится.
Интегральный признак Коши:
Ряд
сходится или расходится одновременно
с несобственным интегралом
,
где f(x)
определена для любого
1
и
Теорема Лейбница для знакопеременных рядов.
Знакопеременный
ряд
сходится, если:
1)
2)
Признаки Абеля и Дирихле сходимости числового ряда.
Пусть
сходится, числа
ограничены в совокупности:
)
и образует монотонную последовательность
, тогда ряд
сходится
Умножение рядов. Теорема Коши.
Пусть даны 2 сходящихся ряда:
(1) и
(2).
По ним составим таблицу:
Произведением ряда (1) и ряда (2) называется ряд из всех элементов таблицы, взятых в любом заданном порядке.
Теорема Коши:
Если оба ряда (1) и (2) сходятся абсолютно, то их произведение сходится абсолютно и сумма произведения равна AB, где:
А= B=
Поточечная и равномерная сходимость (функциональных последовательностей и рядов).
Пусть дана
последовательность функций
Последовательность
{
}
называется сходящейся в точке х из Х,
если сходится числовая последовательность
{
(х)}.
Множество Х таких точек называется
множеством сходимости функциональной
последовательности. На нем определена
функция:
она называется
предельной.
Сходимость
означает, что для фиксированного
х из Х
сходится к f, если:
Признак Вейерштрасса равномерной сходимости
Пусть ряд
сходится и
.
Тогда ряд
сходится равномерно на Х.
Теорема о почленном переходе к пределу.
Почленное интегрирование и дифференцирование рядов.
Теорема
1: Если
,
то степенной ряд
можно почленно интегрировать на [0, x]
Теорема 2: Степенной ряд можно почленно дифференцировать на (–R, R)
Степенной ряд.
Степенным рядом наз-ся ряд вида:
,
где
– постоянные коэф-ты и ряд вида
Промежуток сходимости степенного ряда.
Радиусом сходимости
степенного ряда наз-ся число R
такое, что при
ряд сходится, а при
ряд расходится. Промежуток с концами
-R,R
(с включением концов или нет) наз-ся
промежутком сходимости степенного
ряда
Теорема Коши-Адамара.
,
R=
,
если
=0
R=
0, если
Ряд Тейлора. Ряды Тейлора элементарных функций.
-
ряд Тейлора