Теорема 3.(про умовно-збіжний числовий ряд)

Нехай числовий ряд ∑a_n (1) умовнозбіжний, тоді члени цього ряду можна представити так, щоб одержаний ряд буде збігатися так, що його сума = S (довільне число)

Доведення:Введемо допоміжні ряди ∑U_n (2) і ∑V_n (3), де ряд (2) складений з невід'ємних членів (1), записаних в тому ж порядку; ряд (3) складено з модулів від'ємних членів ряда (1). S_n - n-та частинна сума невід'ємних членів ряда (1), що входять в U_n (S_n); V_n - сума модулів від'ємних членів ряда (1), що входять в суму (1). S_n=U_n-V_n.

Оскільки ряд (1) збігається умовно, то мають місце:

lim_n (U_n-V_n)=A (A=const) lim_n (U_n+V_n)=∞ =>

lim_n U_n=0.5 lim_n [(U_n-V_n)+(U_n+V_n)]=∞ lim_n V_n= lim_n (U_n-S_n)=∞

Ряди (2) і (3) - з невід'ємними членами, які є розбіжними.

Знайдемо S:

S_n1^*=∑ⁿ¹_i=1U_i>S, де S-дов.число.Для визначенності візьмемо його додатнім.S_n1+1^{*= (якщо} n₁>1^).

Візьмемо n₂ таким,щоб :S_n1,n2^*= <S S_n1,n2-1^*=

візьмемо n₃: S_n2,n3^* =S_n1^*+ >S S_n2,n3-1^*= S_n1,n2^*+ S (n₃>n₁+1)

Одержимо послідовність нерівностей:

S_n1^*>S, S_n1,n2^*<S, S_n2,n3^*>S, S_n3,n4^*<S (n1<n3<n5<… n2>n4>n6>…)

Таким чином одержали послідовність: { S_nn,nn+1^*}

З побудови цієї послідовності випливає, що S_nn,nn+1^* відрізняється від числа S не більше ніж на свій останній доданок S- S_nk,nk+1

Оскільки ряд (2) є збіжним, то з необхідної умови збіжності випливає S_nk,nk+1=S

Зауваження: члени умовно збіжного ряду можна переставити так, що його сума0

Функціонал послід-сті

Якщо кожному натуральномучислу n за деяким законом поставлена у відповідність ф-ія fn(x) визначена на Е множині,то говорять що на множині Е задана ф-на посл-сть {fn(x)}.ЗафіксуємХ=Х0 тоді одержимо числову посл-сть

{fn(x0)}.Якщоця посл-сть є збіжноюто говорять що ф-на посл-сть збіг в х0.

Якщо ф-на посл-сть збіг в кожній точці множини Е

То говорять що вона збіг на цій множині.Множина всіх значень х при яких ф-на посл-сть збіг наз областю збіжності посл-сті. Множина всіх значень х при яких визначені всі ф-ції fn(x) наз областю визначення ф-ної посл-ті.

Означення

Ф-на посл-сть {fn(x)} на множині Е наз збіжною до f(x) , якщо б-я Е >0 існує N(E,X) натуральне таке що для б-я n>N: |fn(x)-

F(x)|<E

Означення

Ф-на посл-сть {fn(x)} на множині Е наз рівномірно збіжною до f(x) , якщо б-я Е >0 існує N(E,X) натуральне таке що для б-я n>N і б-я х що належитьЕ: |fn(x)-f(x)|<E

Геометричн зміст рівном збіжності

З геометр точки зору рівном збіжність ф-ної посл-сті означ що для б-я Е >0 існує N натуральне таке що для б-я n>N графіки ф-ції у=fn(x) містяться в смузі завширшки 2Е побуд навколо графіка ф-ції у=f(x).

Якщо посл-сть |fn(x) збіг з f(x) на множині E то це познач так

fn(x)f(x)

E

Якщо посл-сть |fn(x) збіг з f(x)

рівномірно на множині E то це познач так



fn(x)f(x)

E

Критерій рівномірної збіжності ф.посл.

Теорема1

(Критерій Коші)

Для того щоб

ф-на посл-сть {fn(x)} на множині Е рівномірно збіг до f(x) необх та дост щоб (1)

для б-я Е >0 існує N натуральне таке що для б-я n>N і б-я р натурального і б-я х що належитьЕ: |fn+p(x)-fn(x)|<E

Доведення

1)Необхідність

Дано що



fn(x)f(x)

E

Це означ що для б-я Е >0 існує N натуральне таке що для б-я n>N і б-я х що належитьЕ: |fn(x)-f(x)|<E/2 (2)

Б-я n>N і б-я р натуральне тобто

n+p>N тобто |fn+p(x)-f(x)|<E/2 (3).З нерівностей (2) і(3) випливає |fn+p(x)-fn(x)|= |fn+p(x)-f(x)+ (f(x)-fn(x))| <= |fn+p(x)-f(x)|+ |(fn(x)-f(x)|<E

2)Достатність. Дано(1).Перейдемо до границі коли р прямує до безкінченності. Тоді одержимо що | ф-на посл-сть {fn(x)} на fn(x)|<=E (5).Оскільки твердження(1) при фіксов х означає що критерій Коші для числової посл-сті виконаний і сама посл-сть є збіжн. Тоді в результаті одержимо що для б-я Е >0 існує N натуральне таке що для б-я n>N і б-я х що належитьЕ: |fn(x)-f(x)|<=E <2E. Аце означає що ф-на посл-сть збіг до f(x).Довели.