Задание – 1

Произвести расчет провода определенной марки, известной площади поперечного сечения, подвешенной на воздушной трехфазной линии электропередач.

Рисунок. Схема участка ЛЭП

Исходные данные к задаче:

II ветровой район,

q = 400 Па – скоростной напор ветра,

Марка провода – АС,

А = 24 м² – площадь поперечного сечения провода,

d = 21,6 м – расчетный диаметр провода,

q_п = 9,97 Н/м – расчетный вес провода,

l = 240 м – пролет между опорами.

t_cp.= 10 ⁰C – среднегодовая температура,

t_min = -20 ⁰C – минимальная годовая температура,

t_max = 30 ⁰C – максимальная годовая температура,

Е = 8,45 Па – модуль упругости провода,

12,2 Па – допускаемое напряжение,

18,9 – коэффициент линейного расширения провода.

I снеговой район,

5 м – толщина стенки гололеда,

Решение:

1. Определение удельных приведенных нагрузок при различных режимах работы

1.1. I расчетный режим: провода и тросы покрыты гололедом, t=-5 ⁰C, скоростной напор ветра 0,25q.

Определим вес 1 п.м. гололеда по формуле:

где - объемный вес льда, тогда

5 (21,6+5) = 3,759 Н/м,

Давление ветра на 1 м провода, покрытого гололедом, определим по формуле:

,

где - коэффициент, учитывающий неравномерность ветра,

К = 1,2 – коэффициент лобового сопротивления, тогда

400 (21,6 + 2 ^. 5) = 3,192 Н/м.

Суммарную интенсивность нагрузки на гибкую нить определим по формуле:

14,095 Н/м.

Удельную нагрузку определим по формуле: , тогда

.

1.2. II расчетный режим: провода и тросы покрыты гололедом, t=-5 ⁰C, ветра нет.

Проводя вычисления, аналогичные п. 1.1. и учитывая, что ветровая нагрузка отсутствует (q_в2 = 0), получим:

3,759 Н/м,

13,729 Н/м,

.

1.3. III расчетный режим: скоростной напор ветра q, t=-5 ⁰C.

Гололеда нет (q_л = 0). Ветровую нагрузку тогда определим по формуле:

где , тогда

400 21,6 = 8,813 Н/м.

Н/м,

.

1.4. IV-VII расчетные режимы имеют одинаковую интенсивность нагрузки, ветра и гололеда нет.

9,97 Н/м, тогда .

2. Расчет напряжений в проводах

Определим критическую длину пролета по формуле:

,

где - температура обледенения,

- максимальная удельная нагрузка, соответствующая температуре обледенения (I режим),

- минимальная удельная нагрузка, соответствующая максимальной годовой температуре (VI режим).

м.

l = 240 м < 242,2 м, следовательно, за базовый режим выбираем VI с минимальной годовой температурой. Принимаем = 12,2 Па= = 1,22  Па. Для определения напряжений в других режимах применим уравнение состояния нити [2, стр. 30]:

Для 7 режима: или

Или после преобразований: –0,186 –3,5 .

Для решения данного кубического уравнения воспользуемся известными математическими программами, основанными на методе Ньютона или формуле Кардано [3]. Т.к. кубическое уравнение - это уравнение третьей степени, то оно имеет три решения: .

Для данного уравнения получаем следующие решения:

1,583  Па, остальные 2 корня имеют мнимую составляющую (i), поэтому их не рассматриваем. Окончательно принимаем 1,583  Па.

Аналогично для остальных режимов, составляя и решая уравнения состояния нити, получим следующие значения напряжений:

Для 1 режима: или

Или после преобразований: –1,544 –6,995 ,

откуда 1,965 Па.

Для 2 режима: после преобразований: –0,75 –6,636 ,

откуда 2,165 Па.

Для 3 режима: –0,744 –6,234 , откуда 2,125 Па.

Для 4 режима: –0,562 –3,5 , откуда 1,73 Па.

Для 5 режима: –0,905 –3,5 , откуда 1,887 Па.

3. Расчет стрелы провисания

Произведем по формуле: , где i = 1,2,3…7 – номер режима.

Тогда для 1 режима: м. Аналогично для остальных режимов: м,

1,88 м, 1,73 м, 1,59 м, 2,45 м, 1,89 м.

В данном варианте f₆ = 2,45 м.

4. Подбор высоты опоры

Высота опоры над землей определяется из условия:

Тогда в нашем случае: 2,45+5,5 = 7,95 м. Принимаем h = 8 м.

Задание-2

Для заданной схемы балки определить опорные реакции, написать выражения Q и М для каждого участка в общем виде, построить эпюры Q и М, найти М_mаx и подобрать: стальную балку двутаврового поперечного сечения и сечения, составленного из двух швеллеров при [σ] = 160 МПа.

Дано: Схема № 20; а = 1 м, М = 20 кНм, М₁ = 15 кНм,

Р = 10 кН, Р₁ = 20 кН, q = 20 kH/м, q₁ = 15 kH/м.

Решение:

1. Для построения эпюр Q и М необходимо определить опорные реакции из уравнений статики:

10 ^. 0,25 – 15 ^. 4 ^. 2 – 20 +5 ^. 4,33 + R_B^.4 = 0, R_В = 28,96 kH,

5 ^. 0,33 + 15 ^. 8 – 20 + 10 ^. 4,25 - R_A ^. 4 = 0, R_А = 36,04 kH,

Проверка: -10 + 36,04 – 60 + 28,96 + 5 = 0.

Разбивая балку на грузовые участки, проводя сечение и отбрасывая более сложную часть, составим уравнения равновесия поперечных сил Q и изгибающих моментов М для участков.

Участок I 0,25 м

-10 = 0

-10 кН = const.

; +10х₁ = 0

= -10 х₁

Участок II 0,25 2,25 м

-10+36,04-15(х₂-0,25) = 0

26,04-15(х₂-0,25)

; +15(х₂-0,25)²/2+10х₂-36,04(х₂-0,25) = 0

= 36,04(х₂-0,25)- 10х₂-7,5(х₂-0,25)²

Участок III 0 0,33 м

+5 = 0

-5 = const.

; -5х₃ = 0

= 5х₃

По полученным значениям строим эпюры внутренних силовых факторов Q и М (см. рисунок).

2. Подбор размеров поперечного сечения двутавровой балки. Условие прочности при изгибе запишем: , где

– максимальный изгибающий момент, возникающий в балке,

W_х – момент сопротивления поперечного сечения балки.

Тогда .

– сечение, составленное из 2-х швеллеров: 123,5 см³. По сортаменту швеллеров (ГОСТ 8240-89) принимаем швеллер № 18а с = 132 см³ и А_[ = 22,2 см². Тогда общая площадь А = 2А_[ = 44,4 см².

– двутавровое сечение: . По сортаменту двутавров (ГОСТ 8239-89) принимаем двутавр № 22а с = 254 см³; А = 32,8 см²;

Сравнивая площади подобранных сечений, приходим к выводу, что наиболее выгодным по расходу материала является двутавровое сечение с минимальной площадью.

Задание 3

Определить диаметры валов сплошного и полого с отношением внутреннего диаметра к наружного . Установить разницу в расходе материала, проверить жесткость валов. Построить эпюру углов закручивания для рационального сечения, эпюру касательных напряжений для сечений, удовлетворяющих условиям прочности и жесткости.

Дано: n = 500 об/мин, Р₁ = 90 кВт, Р₂ = 80 кВт, Р₃ = 60 кВт, Р₄ = 50 кВт,

а = 0,1 м, с = 0,3 м, , , .

= 0,75, 2.

Решение

1. Определим величины внешних вращающих моментов по формуле:

М =

кНм,

кНм, аналогично

М₃ = 1,15 кНм, М₄ = 0,96 кНм.

При равномерном вращении вала алгебраическая сумма внешних моментов равна нулю: М₂ + М₃ – М₁ – М₅ – М₄ = 0, тогда М₅ = 0.

По этим значениям строим эпюру крутящих моментов М_кр. (см. чертеж).

2. Определим диаметр круглого вала из условий прочности при кручении:

90 МПа, где

- полярный момент сопротивления поперечного сечения вала (круга). Тогда . Отсюда найдем диаметр вала: м = 46 мм.

Принимаем по ГОСТ 2590-71 d = 46 мм.

Кольцевого поперечного сечения: , где 0,75, тогда м = 52 мм.

Принимаем по ГОСТ 2590-71 d_н = 53 мм, тогда d_в = 40 мм.

3. Определим диаметр круглого вала из условий жесткости при кручении.

Условие жесткости при кручении имеет вид:

где

- угол закручивания на один погонный метр,

- максимальный крутящий момент,

- жёсткость при кручении ( ),

- допускаемый угол закручивания на 1 п.м., .

Для сплошного вала: ,

Тогда найдем диаметр вала из условия жёсткости:

отсюда м = 71 мм.

Принимаем по ГОСТ 2590-71 d = 75 мм.

Для пустотелого вала: . Найдем диаметр вала из условия жёсткости: отсюда

м = 78 мм.

Принимаем по ГОСТ 2590-71 d_н = 80 мм, тогда d_в = 60 мм.

Для обеспечения прочности и жесткости вала принимаем сечения большего диаметра: d = 75 мм. Для пустотелого вала: d_н = 80 мм, d_в = 60 мм. Площади поперечного сечения данных валов будут равны соответственно:

мм²,

мм².

Окончательно принимаем вал кольцевого поперечного сечения с минимальной площадью, что выгоднее с точки зрения расхода материала при одинаковой нагрузке.

4. Построим эпюру углов закручивания. Для этого определим углы поворота сечений относительно начало отсчета, за которое примем крайнюю левую точку вала – А.

Жесткость вала: = Нм²

Угол поворота сечения В относительно сечения А равен

рад;

рад;

рад,

рад.

По полученным данным строим эпюру углов закручивания φ (см. чертеж).

5. Построим эпюры распределения касательных напряжений для сечений, удовлетворяющим условиям прочности и жесткости.

Круглое поперечное сечение: d = 75 мм.

= (75 м)³ = 0,084 м³

МПа.

Кольцевое поперечное сечение: d_н = 80 мм, 0,75

(80 м)³ = 0,070 м³

МПа.

(80 м)⁴ = 2,8 м³

МПа.

Рисунок. Эпюры распределения касательных напряжений

Задание 4.

Стержень указанного материала длиной l сжимается силой F. Требуется: 1) найти размеры поперечного сечения при допускаемом напряжении на простое сжатие, 2) найти значение критической силы и коэффициент запаса устойчивости.

ДАНО: Стержень длиной 3 м,

100 кН,

μ = 0,7

Материал стойки  сталь марки Ст3.

Расчетное сопротивление стали МПа,

Предельное значение гибкости .

Решение:

1. Определение геометрических характеристик сечения стержня.

Сечение разбиваем на два элемента: первый элемент – прямоугольник с размерами ; второй элемент – вырезанный прямоугольник с размерами .

Суммарная площадь составного сечения равна:

.

Находим минимальный осевой момент инерции заданного поперечного сечения стержня: .

Определяем величину минимального радиуса инерции сечения:

.

2. Определение размеров поперечного сечения стержня методом последовательных приближений.

Условие устойчивости сжатого стержня:

Задаемся начальным приближением коэффициента продольного изгиба . Тогда из условия устойчивости определяем требуемую площадь поперечного сечения стержня: см².

Учитывая ранее полученные выражения для величин и , имеем:

см; см.

Вычисляем гибкость стержня по формуле:

где  коэффициент приведенной длины, выбираемый в зави­симости от условий закрепления концов стержня.

По таблице  с помощью линейной интерполяции находим значение коэффициента продольного изгиба соответствующее вычисленному значению гибкости :

Полученное значение коэффициента отличается от ранее принятого, следовательно, необходимо выполнить следующее приближение.

Второе приближение. Задаемся новым значением коэффициента продольного изгиба: . см².

см; см,

Третье приближение. .

см², 4,39 см;

см,

Находим значение расчетных напряжений в сечении сжатого стержня:

МПа > МПа.

, что допустимо.

3. Определение величины критической силы:

Расчетная гибкость стойки (предельное значение гибкости), следовательно, при определении критических напряжений необходимо использовать формулу

Эйлера : МПа

108,01 16,19 = 174 КН.

Коэффициент запаса устойчивости: .

Литература:

1. Методические указания по сопротивлению материалов для студентов спец. 310900 - «Землеустройство», 311000 - «Земельный кадастр», 311400 – «Электрификация и автоматизация с/х процессов», КубГАУ, Краснодар, 2005.

2. Бредихин Б.А. Сопротивление материалов. Краснодар, КГАУ, 2006 г.

3. http://cubic-solver.info/calc.php - программа для решения кубических уравнений.

4. Александров А.В. Сопротивление материалов.

5. Писаренко. Справочник по сопротивлению материалов.

15