Лабораторная работа №2 (пояснение к лабораторной работе)

Решить СИМПЛЕКС-МЕТОДОМ и ГРАФИЧЕСКИМ МЕТОДОМ.

Задача

Для изготовления двух различных видов продукции А и В используется сырье трех видов. На производство единицы продукции В расходуется сырья: первого вида а1=16 кг, второго вида а2=8 кг, третьего вида а3=5 кг. На производство одной единицы продукции В расходуется соответственно в1=4 кг, в2=7 кг, в3=9 кг.

Производство обеспечено сырьем первого вида в количестве р1=784 кг, р2=552 кг, третьего р3=567 кг.

Прибыль от реализации продукции составляет: 4 рубля от единицы продукции А и 6 рублей от единицы продукции В.

Составить производства продукции А и В, обеспечивающий максимум прибыли от их реализации.

1) Составляем систему ограничений для данной задачи и определяем целевую функцию

(X) = 4x₁+6x₂ – целевая функция, при следующей системе ограничений:

16x₁+4x₂≤784

8x₁+7x₂≤552

5x₁+9x₂≤567

2. Решаем симплекс методом задачу линейного программирования:

Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).

В 1-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x₃. В 2-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x₄. В 3-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x₅.

16x₁ + 4x₂ + 1x₃ + 0x₄ + 0x₅ = 784

8x₁ + 7x₂ + 0x₃ + 1x₄ + 0x₅ = 552

5x₁ + 9x₂ + 0x₃ + 0x₄ + 1x₅ = 567

Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:

Базисные переменные это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом.

Решим систему уравнений относительно базисных переменных:

x₃, x₄, x₅,

Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:

X1 = (0,0,784,552,567)

Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно.

Базис	x1	x2	x3	x4	x5	Свободные члены
x3	16	4	1	0	0	784
x4	8	7	0	1	0	552
x5	5	9	0	0	1	567
F(X0)	-4	-6	0	0	0	0

Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.

Итерация №0.

1. Проверка критерия оптимальности.

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

2. Определение новой базисной переменной.

В индексной строке F(x) выбираем максимальный по модулю элемент. В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x₂, так как это наибольший коэффициент по модулю.

3. Определение новой свободной переменной.

Вычислим значения D_i по строкам как частное от деления: b_i / a_i2

и из них выберем наименьшее:

Следовательно, 3-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент равен (9) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис	x1	x2	x3	x4	x5	Свободные члены
x3	16	4	1	0	0	784
x4	8	7	0	1	0	552
x5	5	9	0	0	1	567
F(X1)	-4	-6	0	0	0	0

4. Пересчет симплекс-таблицы.

Формируем следующую часть симплексной таблицы.

Вместо переменной x₅ в план 1 войдет переменная x₂

Строка, соответствующая переменной x₂ в плане 1, получена в результате деления всех элементов строки x₅ плана 0 на разрешающий элемент РЭ=9

На месте разрешающего элемента в плане 1 получаем 1.

В остальных клетках столбца x₂ плана 1 записываем нули.

Таким образом, в новом плане 1 заполнены строка x₂ и столбец x₂ .

Все остальные элементы нового плана 1, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.

Для этого выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.

НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ

СТЭ - элемент старого плана, РЭ - разрешающий элемент (9), А и В - элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

x1	x2	x3	x4	x5	B
5 / 9 = 0.56	9 / 9 = 1	0 / 9 = 0	0 / 9 = 0	1 / 9 = 0.11	567 / 9 = 63

После преобразований получаем новую таблицу:

Базис	x1	x2	x3	x4	x5	Свободные члены
x3	13.78	0	1	0	-0.44	532
x4	4.11	0	0	1	-0.78	111
x2	0.56	1	0	0	0.11	63
F(X1)	-0.67	0	0	0	0.67	378

Итерация №1.

1. Проверка критерия оптимальности.

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

2. Определение новой базисной переменной.

В индексной строке F(x) выбираем максимальный по модулю элемент. В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x₁, так как это наибольший коэффициент по модулю.

3. Определение новой свободной переменной.

Вычислим значения D_i по строкам как частное от деления: b_i / a_i1

и из них выберем наименьшее:

Следовательно, 2-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент равен (4.11) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис	x1	x2	x3	x4	x5	Свободные члены
x3	13.78	0	1	0	-0.44	532
x4	4.11	0	0	1	-0.78	111
x2	0.56	1	0	0	0.11	63
F(X2)	-0.67	0	0	0	0.67	378