Операции над множествами
Рассмотрим такие операции над множествами, как объединение, пересечение, разность и дополнение.
Объединением
множеств A
и B
(
)
называется множество, состоящее из всех
тех элементов, которые принадлежат хотя
бы одному из множеств А или В (рис.
2.2.3.).
Рис. 2.2.3. Диаграмма Эйлера-Венна для объединения множеств А и В
Пример 2.2.2.
Даны два множества: A
= {1, 2, 4, 6} и В = {0, 3, 4, 6}. Найти множество
.
С = {0, 1, 2, 3, 4, 6}.
Пересечением
множеств А и В (
)
называется множество, состоящее из
элементов, входящих как в множество А,
так и в множество В (рис. 2.2.4.).
Рис. 2.2.4. Диаграмма Эйлера-Венна для пересечения множеств А и В
Пример 2.2.3.
Даны два множества: A
= {1, 2, 4, 6} и В = {0, 3, 4, 6}. Найти множество
.
С = {4, 6}.
Разностью
множеств А и В (
)
называется множество всех элементов
множества А, которые не содержатся в В
(рис. 2.2.5.).
|
|
Рис. 2.2.5. Диаграмма Эйлера-Венна для разности двух множеств
Пример 2.2.4.
Даны два множества: A
= {1, 2, 4, 6} и В = {0, 3, 4, 6}. Найти множество
и
.
С = {1, 2}, D
= {0, 3}.
Дополнением
(до универсального множества U)
множества A
(
называется множество всех элементов,
не принадлежащих A,
но принадлежащих универсальному
множеству U
(рис. 2.2.6.).
Рис. 2.2.6. Диаграмма Эйлера-Венна для разности двух множеств
Пример 2.2.5.
Пусть универсальное множество U
состоит из букв русского алфавита, A
– множество гласных букв, тогда
- множество согласных букв и букв ь и ъ.
Приоритет выполнения операций: сначала выполняются операции дополнения, затем пересечения и только потом объединения и разности. Последовательность выполнения операций может быть изменена скобками.
Пример 2.2.6.
Пусть U
= {1, 2, 3,
4}, А = {1, 3, 4}, В
= {2, 3}, С = {1, 4}.
Найти: а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
;
;
;
.
Свойства операций над множествами
Закон идемпотентности для объединения и пересечения множеств:
.
Закон коммутативности:
.
Закон ассоциативности:
.
Законы дистрибутивности:
.
Законы поглощения:
.
Законы, описывающие свойства пустого и универсального множеств по отношению к объединению и пересечению:
.
Законы дополнения:
.Закон инволютивности дополнения:
.Закон Де Моргана:
.
Разбиение множества на классы
Разбиением множества A на классы Ai называется представление данного множества в виде суммы попарно непересекающихся его подмножеств Ai, i = 1, 2, ..., n, таких, что каждый элемент множества A является в то же время и элементом одного из подмножеств Ai, то есть:
.
Пусть
,
где A, B, C
– пересекающиеся множества. Тогда
разбиение множества M
на классы можно представить в следующем
виде (рис. 2.2.7.):
|
|
Рис. 2.2.7. Диаграмма Эйлера-Венна для разбиения множеств на классы
В общем случае при разбиении на классы множества, состоящего из 3 пересекающихся множеств, получается 7 классов, то есть 7 попарно непересекающихся подмножеств.
Пример 2.2.7. После зимних каникул классный руководитель спросил, кто из ребят ходил в театр, кино или цирк. Оказалось, что из 36 учеников класса двое не были ни в кино, ни в театре, ни в цирке. В кино побывало 25 человек, в театре – 11, в цирке – 17; и в кино, и в театре – 6; и в кино, и в цирке – 10; и в театре, и в цирке – 4. Сколько человек побывало и в кино, и в театре, и в цирке? Сколько человек посетили только одно мероприятие?
Пусть множество К
– это ученики, посетившие кино, Т –
ученики, посетившие театр, Ц – ученики,
посетившие цирк во время зимних каникул.
Тогда
.
Мощность множества
(общее количество учеников за вычетом
тех, кто не был ни в театре, ни в кино, ни
в цирке). Построим диаграмму Эйлера-Венна
и нанесем на неё мощности классов, исходя
из условия. Для наглядности будет
использовано несколько диаграмм (рис.
2.2.8.):
|
||
а) |
б) |
в) |
г) |
д) |
е) |
Рис. 2.2.8.
Пусть х – это
количество учеников, которые посетили
все три мероприятия, то есть
.
Тогда количество учеников, посетивших только театр и цирк, без кино, равно:
.
Аналогично находим количество учеников, посетивших только цирк и кино, за исключением театра:
.
И, наконец, количество учеников, посетивших только театр и кино, за исключением цирка, равно:
.
Рассчитаем мощности оставшихся 3 классов:
количество учеников, посетивших только театр:
;
количество учеников, посетивших только цирк:
;
количество учеников, посетивших только кино:
.
Нанесем расчетные данные по каждому классу на диаграмму для дальнейших вычислений (рис. 2.2.9.):
Рис. 2.2.9.
Для ответа на первый
вопрос задачи необходимо найти мощность
класса
,
то есть х. Для вычисления x будем
использовать мощность множества
и составим уравнение, просуммировав
мощности всех 7 классов:
.
Следовательно,
То есть 1 ученик побывал
и в кино, и в театре, и в цирке.
Для ответа на второй вопрос задачи необходимо просуммировать мощности трех внешних классов:
.
То есть 16 учеников посетили только одно мероприятие.