Добавил:

inrad Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Предмет:

Основы автоматизированного проектирования электрических цепей

Файл:

Теория по ОАПЭЦ

.pdf

Скачиваний:

126

Добавлен:

01.04.2014

Размер:

780.07 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

Тогда матрица главных сечений имеет вид

				Хорды
		5		6	8	9
Р	1		1	1	0	-1
Р	1		1	1	0	-1
F = е	2		-1	0	0	0	.
б	3		0	-1	1	1
р	4		-1	0	-1	0
а	7		0	0	1	1

Запишем топологические уравнения для токов резистивных ребер и на- пряжений резистивных хорд:

IRр = −FRр L IL − FRр I I − FRр Rx IRx ,

(2.45)

U	R	= FT	U	C	+ FT	U + FT	U	R		.	(2.46)
	R	CR		C	UR	R R		R	р
	x	x			x	р x			р

Дополним уравнения (2.45), (2.46) компонентными уравнениями для резистив- ных элементов:

UR	p	= RR	p	IR	p	;	UR	= RR	IR	x	.
	p		p		p		x	x		x

Выразим в (2.46) напряжения на резистивных элементах через токи, поль- зуясь компонентными уравнениями, после чего запишем (2.45) и (2.46) в виде

FR R

-FR

-FT

p x

Rp Rx

CRx

URx

Þ A11I рез = B11X + B12 Xни .

(2.47)

Из уравнения (2.47) можно выразить вектор Iрез:

I рез = B1X + B2 Xни ,

(2.48)

где B = A−1B ;

B = A−1B .

Пример 2.6. Получить уравнение для токов резистивных элементов в схеме рис. 2.17.

Решение.

IRp

рез

;

ни

; X =

;

IRx

Rp = R7; Rx =	0,1	0		.
	0	0,2

С использованием матрицы главных сечений получим

	1					FR R							1	0	0
	1					FR R							1	0	0
A11 =						p x			=				0	0,1	0			,
A11 =	− FT			R		R			=				0	0,1	0			,
			Rp Rx		p	x							0	0	0,2
		0			− FRp L					0				0	−1


B11 =							=			0				−1	0		,
B11 =			FT			0	=			0				−1	0		,
			CRx								−1			0	0
			CRx								−1			0	0
			0			−FRp L						0		0	−1


B12 =								=				1		−1	0	.
B12 =			FT			0		=				1		−1	0	.
			URx									1		0	0
			URx									1		0	0

В итоге:

	B = A−1B =								1		0		0				0		0	1			0			0		−1
									1		0		0				0		0	1			0			0		−1
									0	10 0							0 −1 0				=		0 −10				0		;
	1			11		11											−1 0 0						−5
									0	0 5							−1 0 0						−5			0	0
B = A−1B =							1			0	0				0 0 −1							0		0		−1
							1			0	0				0 0 −1							0		0		−1
							0	10			0				1 −1 0						=	10	−10				0	;
2	11			12
							0			0	5				1	0			0			5		0			0
		i7				0		0			−1			u3				0		0			−1		u1
		i7				0		0			−1			u3				0		0			−1		u1
		i5	=		0		−10					0		u4			+	10	−10				0		u2	.
		i6			−5			0				0		i8				5		0			0		i9

По матрице главных сечений запишем топологические уравнения для

UL и IC :

U	L	= FT	U		Rp	+ FT U	+ FT U ;	(2.49)
	L	Rp Rx			Rp	CL C	UL
IC = − F CR			x	IR		− FCL IL − FCI I .		(2.50)
			x		x

Компонентные уравнения для индуктивных и емкостных элементов име-

ют вид

UL = L	d	IL ;	IC = C	d	UC .
	dt			dt

Используя компонентные уравнения, из (2.45) и (2.46) получим

					A		d		X = A		I	рез		+ B		X + B			X		ни	,	(2.51)
					A				X = A		I			+ B		X + B			X			,	(2.51)
					22 dt			21							21		22
где	A =	C 0	, A =	0	-FCRx				, B	=			0 − FCL					, B		=		0	− FCI	.


	22	0 L	21	FRTp L		0			21			FCLT			0			22				FULT	0
				FRTp L								FCLT										FULT
	Сравнив (2.51) с (2.42) с учетом (2.48), получим
						A = A−1(B							+ A		B ),								(2.52)
						1		22		21				21	1
						A = A−1(B							+ A		B ) .								(2.53)
						2		22		22				21	2

Пример 2.7. Для схемы рис. 2.17 получить уравнение состояния.

Решение.

A =				C 0								=				C3					0					0							=					1			0		0
																C3					0					0												1			0		0
																		0 C4 0																				0 5 0							,
22				0					L
				0					L							0					0						L8											0			0		2
																0					0						L8											0			0		2
										0										−FCR										0				0							1


			A21 =																					x			=			0 1 0												,
			A21 =							FT											0						=			0 1 0												,
											Rp L																			3				0							0
																														3				0							0
	B =				0								− FCL								=		0			0									−1					,


																							0			0								1
21						FT									0
							CL																1				−1							0
							CL																1				−1							0
	B =						0							−FCI								=			0	0								−1


																									0 0									0					,
22							FT								0
								UL																	0	0								0
								UL																	0	0								0
	1 0							0								æ		0 0 -1																			0 0 1									0	0 -1			ö
	1 0							0								æ		0 0 -1																			0 0 1									0	0 -1			ö
A1 = A22−1(B21 + A21B1) =	0		0,2					0						ç					0		0					1						+					0				1		0			0	-10	0			÷	=
A1 = A22−1(B21 + A21B1) =	0		0,2					0						ç					0		0					1						+					0				1		0			0	-10	0			÷	=
	0		0					0,5						ç				-1			-1					0											3				0		0			-5	0	0			÷
	0		0					0,5						è				-1			-1					0											3				0		0			-5	0	0			ø
									−5										0						−1
									−5										0						−1
					=			0										−2			0,2							,
								0,5								−0,5 −1,5
		1 0														0	æ			0 0 -1																0 0 1								0			0 -1		ö
		1 0														0	æ			0 0 -1																0 0 1								0			0 -1		ö
A2 = A22−1(B22 + A21B2 ) =		0	0,2					0									ç			0	0								0		+					0					1		0	10			-10	0	÷		=
A2 = A22−1(B22 + A21B2 ) =		0	0,2					0									ç			0	0								0		+					0					1		0	10			-10	0	÷		=
		0			0			0,5									ç			0	0					0										3					0		0	5			0	0	÷
		0			0			0,5									è			0	0					0										3					0		0	5			0	0	ø

5 0 −1 = 2 −2 0 .

0 0 −1,5

В итоге запишем полученное уравнение состояния:

d	u3		−5	0	−1	u3		5	0	−1	u1

	u4	=	0	−2	0,2	u4	+	2	−2	0	u2	.
dt
	i		0,5	−0,5	−1,5	i		0	0	−1,5	i

	8					8					9

Для получения уравнения выхода (2.43) необходимо вектор интересую- щих нас реакций цепи Хвых выразить через векторы переменных состояния и не- зависимых источников.

Пример 2.8. Получить уравнение выхода для цепи рис. 2.17 для напряже- ния u46 .

Решение. Найдем искомое напряжение суммированием напряжений вет- вей при обходе контура из узла 4 к узлу 6:

u46 = −u7 − u3 + u1 = −i7 R7 − u3 + u1.

Ток i7 выразим из полученного ранее уравнения токов резистивных эле- ментов:

i7 = 0 0 −1 X + 0 0 −1 Xни .

Так как напряжение u3 входит в вектор состояния, то u3 = 1 0 0 X .

Так как напряжение u1 входит в вектор независимых источников, то u1 = 1 0 0 Xни .

В итоге получим

u46 = −1 0 3 X + 1 0 3 Xни = D1X + D2 Xни .

3.Математические модели элементов схем

3.1.Представление моделей элементов в программах автоматизированного проектирования электрических цепей (АПЭЦ)

При создании программ АПЭЦ наряду с выбором алгоритмов формирования и решения уравнений математической модели схемы важными задачами являются определение формы представления моделей элементов и организация вычислений по моделям в процессе расчёта схемы.

Графически модели элементов представляются в виде нуль-полюсников, од- нополюсников, двухполюсников и многополюсников или их комбинаций.

Введём понятия нуль-полюсных и однополюсных элементов.

Нуль-полюсный элемент – это фиктивный элемент схемы, который не имеет узлов подключения и используется для введения в уравнения ММС неэлектрических величин, например логических функций, описывающих состоя-

ние схемы или её элементов. На принципиальной схеме нуль-полюсник может отсутствовать или условно изображаться в виде двухполюсного элемента, оба по-

люса которого подключены к одному узлу схемы, обычно базисному.

Однополюсный элемент характеризуется электрическими величинами–

током и узловым потенциалом. Его можно рассматривать как частный случай двухполюсника с одним заземлённым полюсом. Нуль- и однополюсники применяются для составления макромоделей элементов.

Понятия двух- и многополюсника общеизвестны, поэтому, не останавлива- ясь на них подробно, отметим только, что модель многополюсника может вклю- чать уравнения относительно как его внешних узлов (полюсов), так и внутренних узлов и контуров, причём тип внешних и внутренних переменных может быть раз- личным. Обычно в программах модель многополюсника преобразуется путём ис- ключения внутренних переменных к виду, содержащему уравнения только относи- тельно внешних переменных.

Способ представления математической модели элемента (ММЭ) в програм- ме определяется следующими основными факторами: 1) базисом переменных и методом формирования уравнений ММС; 2) методами решения уравнений ММС;

3)способом включения уравнения модели элемента в уравнения ММС.

Взависимости от базиса переменных выбирается та или иная запись мате- матических уравнений модели элемента. Так, модель нелинейного источника в ба- зисе узловых потенциалов должна иметь вид i= f(φ), а в базисе переменных со-

стояния – i= f(u) или u=φ(i).

Взависимости от метода решения уравнений ММС модель элемента может требовать дополнительных преобразований исходных уравнений модели. Напри- мер, способ дискретизации уравнений емкостей и индуктивностей зависит от при- нятого метода решения дифференциальных уравнений.

Важную роль в определении способа представления ММЭ играет третий из указанных факторов. Существуют два наиболее распространённых варианта включения уравнений ММЭ в уравнения ММС.

Впервом варианте ММЭ представляется эквивалентной схемой, состоящей из двухполюсных элементов и образующей часть эквивалентной схемы всего устрой- ства. Очевидно, что этот подход при использовании сложных эквивалентных схем элементов с большим числом ветвей и узлов ведёт к быстрому увеличению раз- мера ММС и числа элементов в схеме. Более экономичен второй вариант пред- ставления ММЭ – в виде многополюсника, уравнения которого приведены к внеш- ним узлам путём исключения внутренних переменных. Включение уравнения много- полюсника в уравнения ММС не вызывает увеличения размера ММС. В связи с этим

будем рассматривать в дальнейшем представление моделей в программе АПЭЦ многополюсниками, допуская, однако, возможность включения в программу моделей в виде эквивалентных схем.

Чтобы представить модель многополюсного элемента в наиболее общей форме, воспользуемся векторным уравнением многополюсника в узловом бази- се I = F(ϕ ,ϕ ′,t) , задающим вектор полюсных токов как функцию векторов уз-

ловых потенциалов ϕ и их производных ϕ ′ по времени t. Заменив вектор про-

изводных разностной формулой вида

ϕn+1 = -1/ t å α jϕn+1− j , j=0

получим разностное уравнение модели, соответствующее использованию для численного интегрирования ММC неявного многошагового метода формул диф- ференцирования назад (ФДН):

In+1 = F*(ϕn+1,...,ϕn+1− j ,tn+1), j = 1,2,...,m.

(3.1)

Для нелинейной модели с помощью разложения в ряд Тейлора в окрестно- сти точки ϕnp+1 уравнение (3.1) преобразуется к форме, соответствующей итера-

ционной процедуре Ньютона:

I p+1

∂F*

(ϕ p+1

− ϕ p

) + F*(ϕ p

,...,ϕ

n+1

), j = 1,2,...,m

(3.2)

n+1

∂ϕ

ϕ =ϕn+1

n+1

n+1− j,

или

I p+1 = Y ϕ p+1

+ I p

(3.3)

n+1

где Inp++11– вектop полюсных токов многополюсника на текущей (р+1)–й ньюто- новской итерации;

I p	= F*(ϕ p		,...,ϕ	n+1− j	,t	n+1	)– вектор полюсных токов на предыдущей р–й
n+1		n+1		n+1− j		n+1
итерации;
Y = ∂F* / ∂ϕ		ϕ =ϕ p	– неопределённая матрица дифференциальных полюсных
Y = ∂F* / ∂ϕ		ϕ =ϕ p	– неопределённая матрица дифференциальных полюсных
		n+1

проводимостей многополюсника, вычисляемая как матрица Якоби уравнения (3.1);

p+1	p+1	p	– вектор поправок узловых потенциалов на текущей итера-
ϕn+1	= ϕn+1	−ϕn+1	– вектор поправок узловых потенциалов на текущей итера-
ции.

Учитывая использование в модели (3.2) разностной аппроксимации про- изводных и итерационного ньютоновского процесса, будем называть эту модель разноитерационной (РИ).

Представление элементов в виде (3.2) является наиболее общим. Можно отметить ряд важных частных случаев.

Безынерционные нелинейные элементы. В этом случае РИ-модель являет-

ся только итерационной (И-моделью), поскольку все её составляющие относятся к одному моменту времени. Модель также записывается в форме (3.2), но без ин-

декса «n+1».

Инерционные линейные элементы. В этом случае РИ-модель является только разностной (Р-моделью), так как в итерационном процессе матрица Υ модели не изме- няется. Опуская индекс р, уравнение (3.2) Ρ-модели можно представить в виде

In+1 = Yϕn+1 + Q(ϕn,...,ϕn− j ), j=1,2,...,m −1.

(3.4)

Безынерционные линейные элементы. В этом случае, опуская все ин-

дексы, получаем I = Yj + Q.

При использовании метода узловых потенциалов РИ-модели легко включаются

в общую систему уравнений ММС на основании простейших правил позиционного суммирования матрицы полюсных проводимостей и вектора полюсных токов ММЭ с матрицей узловых проводимостей и вектором узловых токов ММС. Лёгкость включения РИ-модели в общую систему уравнений ММС в сочетании с практи-

ческим отсутствием ограничений на характер моделируемых элементов позволяет считать РИ- модели этого типа наиболее перспективными для применения в программах АПЭЦ. В связи с этим в последующих разделах данной главы показана возможность представления рассматриваемых моделей элементов схем в разностно- итерационной форме базиса узловых потенциалов.

3.2.Модели двухполюсных элементов

Вобщем случае РИ-модель двухполюсного элемента с учётом обозначений полюсов, принятых на рис. 3.1, а, можно записать в виде уравнения (3.2) в сле- дующей форме (индекс n+1 для простоты опустим):

éip+1	ù	é	1 −1ù		é
ê l	ú	= y ê		ú	× ê
ê p+1	ú	ê−1 1		ú	ê
ëim	û	ë		û	ë

ϕlp+1ù		é	i p ù	,	(3.5)
ϕ p+1	ú	+ ê	ú	,	(3.5)
ϕ p+1	ú	ê	−ip ú
m	û	ë	û

где y – дифференциальная проводимость двухполюсника.

Для безынерционного нелинейного двухполюсника, описываемого уравнением

i=f(u), составляющие модели (3.5) запишутся как y = ∂f / ∂u			u=u	p ,i p = f (u p ), а
i=f(u), составляющие модели (3.5) запишутся как y = ∂f / ∂u				p ,i p = f (u p ), а

для простейших линейных безынерционных двухполюсников,			изображённых на
рис. 3.1, б – г, значения y и ip		приведены в табл. 3.1.		Таблица 3.1
				Таблица 3.1
	Тип элемента	Проводимость y	Ток i p
	Сопротивление	1/R	yup
	Источник тока	1/RВН	J–yup
	Источник напряжения	1/RВН	y(E–up)

Если источники тока и напряжения в табл. 3.1 являются источниками сигналов, то в модель достаточно ввести функциональную зависимость сигнала от времени: J (tn+1) и E(tn+1) .

Рассмотрим представление РИ-моделей реактивных двухполюсников. При моделировании нелинейных емкостных элементов в зависимости от способа опре- деления ёмкости через накапливаемый на ней заряд будем различать диф-

ференциальную C(u

) = dq(u

)/ du и интегральную C*(u

) = q(u

)/u

ёмкости.

В соответствии с таким

представлением

ток через

нелинейную

ёмкость

ic = dq / dt может быть выражен двумя способами:

для дифференциальной ёмкости

i = dq(uc )duc = C(u

) duc ,

du dt

для интегральной ёмкости

êéC*(uc )uc úù

= êC*(u

) + u

(uc )

ú duc .

Далее будем использовать математически более простое и чаще используе- мое в моделях понятие дифференциальной ёмкости.

Переходя к разностному представлению емкостного тока по формуле метода ФДН, получаем

= -C(u

)α0 (u

1 å α u

(3.6)

cn+1

j=1 j cn+1− j

α0

R i

2-по-

люсник

m l

RВН

Рис. 3.1. Графическое представление РИ-моделей двухполюсных элементов:

а– общий вид модели; б – сопротивления; в – источник тока;

г– источник напряжения

	uСn+1	uLn+1
		JL
yC	iCn+1	iLn+1
	EС	yL
		yL
	а	б

Рис. 3.2. Графическое представление P-моделей реактивных элементов: а – ёмкости; б – индуктивности

Этому выражению можно поставить в соответствие эквивалентную схему раз- но-стной модели ёмкости (рис. 3.2, а), в которой элементы yc и Еc определяются следующими выражениями:

yc = C(ucn+1 )α0 / t; Ec = (-1/α0 )å α jucn+1− j .

j=1

Из разностной модели (3.6) нетрудно выразить составляющие у и i РИ-модели нелинейной ёмкости вида (3.5):

y = − y	−	dCα0	(u p	− E );	ip = − y (u p		− E ).	(3.7)
		du t
c			cn+1	c	c	cn+1	c

Для сравнения отметим, что получены более сложные выражения, опре- деляющие проводимость у нелинейной интегральной емкости С*(ис). Для линей-

ной модели проводимости дифференциальной и интегральной емкости совпадают: y=yc.

Используя дуальное по отношению к емкости представление индуктивности, нетрудно получить РИ-модель нелинейной дифференциальной индуктивности. За- пишем разностное выражение для тока индуктивности:

- 1

å α i

Ln+1

j=1 j Ln+1− j

L(i

)

Ln+1

(3.8)

Эквивалентная схема, соответствующая разностной модели индуктивно- сти (рис. 3.2, б), содержит проводимость yL и источник тока JL, определяемые фор-мулами

= é1/ L(i

)ù Dt /α

= (-1/

;

)å α i

j=1

n+1

n+1− j

Воспользовавшись принятыми обозначениями, выразим составляющие РИ-модели нелинейной индуктивности вида (3.5):

y= êé-

dLα0

(i p

- J

)úù−1 ;

i p

= -y

u p

+ J

Ln+1

L û

Ln+1

(3.9)

Отметим, что проводимость

в данном случае определяется с «запаздыва-

ip−1

нием» через значение Ln+1 .

3.3. Модели биполярных транзисторов

3.3.1.Обобщенная электрическая модель

Вотечественных и зарубежных программах АПЭЦ наибольшее распростране- ние получили модели биполярных транзисторов, относящиеся по классификации к электрическим моделям. Эти модели сочетают приемлемую для решения практиче- ских задач точность со сравнительной простотой моделирующих зависимостей.

Рассмотрим три типа электрических моделей биполярного транзистора, наибо- лее широко используемых в программах анализа нелинейных схем: инжекционную и передаточную модели Эберса – Молла и модель программы ПАЭС. Эквивалентные схемы этих моделей можно представить в виде обобщенной эквивалентной схемы, показанной на рис. 3.3. Этой схеме соответствуют обобщенные уравнения, опи- сывающие источники токов JЭ , JК , и дифференциальные емкости р-n-

переходов CЭ , CК :

JЭ = IЭЭ (euЭθЭ -1) - IКЭ (euКθК -1); JК = IКК (euКθК -1) - IЭК (euЭθЭ -1); CЭ = СЭбар (uЭ ) +θЭDЭeuЭθЭ ; CК = СК бар (uК ) +θК DК euКθК ,

где θЭ ,θК – показатели экспонент, имеющие один и тот же смысл для всех мо- делей;

IЭЭ , IКЭ , IКК , IЭК – коэффициенты, различающиеся для моделей разных типов;

– барьерные емкости переходов, одинаковые для всех моделей;

DЭ, DК – коэффициенты выражений, определяющих диффузионные емкости переходов, различающиеся для моделей разных типов.

Rуэ

iRэ

Rук

iRк

			СЭ	СК
		iCэ	JЭ	JК	iCк	rк
Э	r		JЭ	JК			К
Э	r	Э´			К´		К
	э	Э´			К´
I				Б´			Iк
э	irэ		uэ	uк		irк
	irэ		uэ	uк		irк

irб rб

Iб

Рис. 3.3. Обобщённая эквивалентная схема электрической модели

биполярного транзистора Для инжекционной модели Эберса – Молла (ИЭМ)

= I

;

β N

= α

;

= τ N(ИЭМ ) I

;

+ βN

ЭЭ

Э0

ЭК

Э0

= I

;

β I

= α

;

= τ I(ИЭМ ) I

1+ βI

КК

К 0

КЭ

К 0

Для передаточной модели Эберса – Молла (ПЭМ)

ЭЭ

= (1+1/ β

;

КЭ

= I

; D

= τ (ПЭМ ) I

;

КК

= (1+1/ β

;

КЭ

= I

;

D = τ (ПЭМ )I

Для модели программы ПАЭС

ЭЭ

= (β

+1)I

ТЭ

;

ЭК

= β

ТЭ

; D

= τ

(ПАЭС) I

ТЭ

;

КК

= (β

+1)I

ТК

;

КЭ

= β

ТК

;

= τ (ПАЭС) I

ТК

Здесь IЭО , IКО , ISN , ISI , IТЭ, IТК – измеряемые параметры эмиттерного и коллек-

торного переходов для каждого типа моделей, имеющие смысл обратных токов на- сыщения. Параметры τ N и τ I определяют диффузионные постоянные времени в

нормальном и инверсном включениях. Коэффициенты передачи тока в схеме с об- щим эмиттером в прямом βN и инверсном βI включениях могут приниматься как

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Основы автоматизированного проектирования электрических цепей

#
01.04.2014100.86 Кб69Контрольна по ОАПЭЦ.doc
#
01.04.2014408.06 Кб53ОАПЭЦ - Вариант 21.doc
#
01.04.2014135.17 Кб47ОАПЭЦ В-9 КР 1.doc
#
01.04.2014585.22 Кб50ОАПЭЦ, Отчет Лаба 2.doc
#
01.04.2014780.07 Кб126Теория по ОАПЭЦ.pdf