1. Используя теорему об изменении кинетической энергии, найдите скорость первого груза тот в момент времени, когда пройденный им путь будет равным .

Решение. Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии. Так как в начальный момент времени механическая система находилась в покое, . По условию задания нити, соединяющие тела механической системы предполагаются нерастяжимыми, проскальзывание между телами отсутствует, поэтому . Тогда из теоремы следует:

.

Рис. 15

Вычислим T – кинетическую энергию системы. Груз 1 совершает поступательное движение, значит:

.

Блок 2 вращается вокруг неподвижной оси, поэтому

.

Момент инерции блока 2: , а его угловая скорость . Таким образом, кинетическая энергия блока 2 принимает

вид

.

Так как каток 3 совершает плоское движение:

.

Поскольку нити предполагаются нерастяжимыми, . Точка P является мгновенным центром скоростей третьего тела, значит:

.

Откуда следует:

.

Момент инерции катка 3 определим по заданному радиусу инерции :

.

Подставляя и в выражение , получим

.

Кинетическая энергия груза 4:

.

Так как нити предполагаются нерастяжимыми, . Анализируя движение третьего тела, выразим :

.

Тогда

.

Складывая теперь кинетические энергии тел механической системы, найдем

.

Вычислим сумму работ приложенных к системе внешних сил:

:

Работа силы тяжести груза 1:

.

Аналогично определяется работа силы тяжести катка:

.

Путь, пройденный точкой С, можно определить из равенства , представив его в виде . Умножая последнее соотношение на dt и интегрируя, получим . Тогда

.

Аналогичным образом из несложно получить .

Найдем работу сил трения качения катка 3.

.

Поэтому

.

Работа силы тяжести груза 4: , где находится из выражения через путем интегрирования: .

.

Последнее слагаемое – работу сил трения скольжения груза 4

определим по формуле

.

Тогда сумма работ внешних сил равна:

.

Приравнивая выражение кинетической энергии механической системы к сумме работ внешних сил, получим равенство, из которого следует

м/с.

2. Применяя общее уравнение динамики, найдите: ускорения тел, движущихся поступательно; ускорения центров масс тел, совершающих плоское движение; угловые ускорения тел, совершающих вращательное и плоское движения.

Решение. В соответствии с общим уравнением динамики изобразим на рисунке активные силы и даламберовы силы инерции (рис. 16).

Так как груз 1 совершает поступательное движение, элементарные силы инерции всех его точек приводятся к равнодействующей, равной по модулю

.

Линия действия вектора проходит через центр масс этого тела. Блок 2 вращается вокруг неподвижной оси, поэтому силы инерции точек этого тела приводятся к паре сил с моментом, абсолютное значение которого . Момент инерции был определен ранее (см. с. 45), а угловое ускорение находится дифференцированием по времени угловой скорости : . Тогда

.

Элементарные силы инерции катка 3 приводятся в его центре масс к силе, модуль которой , и паре сил с моментом, равным по абсолютному значению . Момент инерции найден ранее, а ускорение и угловое ускорение определяются из выражений и дифференцированием их по времени: . Отсюда

, .

Груз 4 движется поступательно, значит:

,

где находится из дифференцированием по времени.

Рис. 16

Придадим центру масс груза 1 возможное перемещение . Так как наложенные на механическую систему связи являются стационарными, неосвобождающими и голономными, значения возможных перемещений других точек системы выражаются через точно так же, как скорости этих точек через :

.

Составим общее уравнение динамики:

Подставляя сюда найденные ранее момент силы трения качения, силу трения скольжения, силы и моменты сил инерции, а также выражения возможных перемещений, получим:

.

Откуда окончательно:

м/с².

Тогда м/с²; м/с²; с^-2; с^-2.