№8. Плоские и планарные графы. Теор. Понтрягина-Куратовского. Полный граф. Двудольный граф. Теор. Кёнига.

Опр. 1: Граф назыв. плоским, если он изображён так, что его рёбра не пересекаются. Плоский граф или граф, кот. можно перерисовать как плоский, назыв. планарным.

Теор. 1 (Понтрягина-Куратовского, критерий планарности): Граф планарен т. и т. т., к. он не содержит в качестве своей части графов К_5,5 и К_3,3 (быть может с доп. вершинами степени 2).

Зам. 1: теор. неудобна на практике.

Опр. 2: Граф назыв. полным, если каждые две вершины его смежны.

Опр. 3: Если мн-во вершин графа разбито на 2 подмн-ва (две доли), а рёбра соединяют только вершины, принадлежащие разным долям, то граф назыв. двудольным.

Опр. 4: Двудольный граф, такой что каждая вершина одной доли смежна со всеми вершинами другой назыв. полным двудольным.

Опр. 5: В плоском графе часть плоскости, ограниченная простым циклом и обладающая св-ом: любые 2 точки этой части плоскости можно соединить непрерывной линией, не содержащей точек, принадлежащих диаграмме графа; назыв. гранью. Плоскость, окруж. плоский граф назыв. внеш. гранью. Число различных граней обознач. v(G) (или r(G)).

Теор. 2 (Кёнига, критерий двудольности): Граф явл. двудольным т. и т. т., к. все его циклы чётные.

Док-во:

1) Необх. Если граф двудольный, то все циклы чётны – это оч.видно.

2) Дост. Дан граф. Все циклы чётны, док-ть, что он двудольный.

Возьмём любую вершину, найдём кратчайшие цепи, соединяющие нашу вершину, со всеми остальными. Заметим, что если имеется цепь (v₀, v_i) чётной длины, то все остальные цепи, соединяющие эти вершины, имеют тоже чётную длину. Аналогично, если цепь (v₀, v_i) нечёт. длины, то все остальные – нечётные.

Разобьём все вершины графа на 2 доли. В 1-ю включим вершину v₀ и все вершины, отстоящие от неё на чётные расстояния; во 2-ю долю – все вершины, отстоящие от v₀ на нечётные расстояния. Док-м, что получили двудольный граф. Док-м, что две вершины одной доли не могут быть соединены ребром. Пусть это вершины v_i и v_j. Пусть сущ. ребро их соединяющее. Но сущ. цепи (v_0, v_i) и (v₀, v_j). Сумма длин цепей чётна, а плюс это ребро, то нечётна, что не есть хорошо. Ч. Т. Д.

№9 Теор. Эйлера о связном планарном графе. Следствия из теор.

Теор. 1 (Эйлера о связном планарном графе): В любом связном планарном графе выполняется соотн.: p-q+r =2.

Док-во.

ММИ по числу рёбер.

1) Базис – пусть q=0 => р=1, r =1. Соотн. выполн.

2) Индуктивное допущение: предположим, что данное допущение верно для данноо связного планарного графа с числом рёбер q, т.е. выполняется p-q+r = 2.

3) Добавим в граф одно новое ребро. Теоретически возможны 3 случая:

а) новое ребро соединяет две сущ. вершины. Имеем: p`=p, q`=q+1, r`=r+1. p`-q`+r`=2.

б) новое ребро соединяет одну сущ. вершину с одной новой. p`=p+1, q`=q+1, r`=r. p`-q`+r`=2.

в) новое ребро соединяет две новые вершины. В этом случае разбивается на две компоненты связности и мы выходим за рамки условия теор. Ч. Т. Д.

Сл. 1: Для любого связного планарного графа с числом вершин >3, выполняется q≤3p-6.

Док-во. Так как по условию q ≥3, то получаем 2q≥3r и r ≤2q/k. Из формулы Эйлера r = 2-p+q. Отсюда 2-p+q ≤2q/3. Далее (3-2)q ≤3(p-2) и q ≤ [3/(3-2)](p-2). Ч. Т. Д.

Сл. 2: Графы К_3,3 и К₅ непланарны.

Док-во. Допустим, что для графа K_3,3 существует планарная реализация. Так как граф K_3,3 связан, то для этой планарной реализации справедлива формула Эйлера pq+r =2. Поскольку в графе K_3,3 имеем p=6 и q=9, то число всех граней должно равняться r =2p+q=5. Получаем, что _{i = 1}^r q_i = 2q = 18, где q_i - число сторон в i-ой грани. Но в графе K_3,3 нет циклов длины 3. Поэтому в каждой грани не менее 4 сторон. Следовательно, q_i4 для всех i. Отсюда q_i  4r = 20. Получаем 1820 - противоречие. Значит для графа K_3,3 не существует планарной реализации.

Допустим, что для графа K₅ существует планарная реализация. Так как граф K₅ связен, то для этой планарной реализации справедлива формула Эйлера pq+r =2. Поскольку в графе K₅ имеем p=5 и q=10, то число всех граней должно равняться r =2p+q=7. Пусть грани занумерованы 1, 2, ..., r и пусть при обходе i-ой грани по периметру (по ее краю) проходится q_i ребер. Так как при этом каждое ребро проходится дважды (оно является стороной для двух граней), то q_i=2q=20. Но в каждой грани не менее 3 сторон. Поэтому q_i  3 для всех i. Отсюда q_i  3r=21. Получаем 2021 - противоречие. Значит для графа K₅ не существует планарной реализации.

Сл. 3: В любом планарном графе сущ. вершина, степень кот. не превосх. 5.

Док-во. Пусть G - планарный граф с p вершинами и q ребрами. Тогда q3(p2)<3p. Пусть d_min- минимальная степень вершин в G. Тогда получаем 6p>2q= pd_min. Отсюда d_min<6, то есть d_min5.

№10 Раскрашивание графа. Хроматическое число графа. Теор. о 5-и красках.

Опр. 1: Раскрашиванием графа назыв. такое приписывание весов (нат. чисел) его вершинам, что никакие две смежные вершины не имеют один цвет. Минимально возможное число красок в раскраске назыв. хроматическим числом графа χ(G). {χ(G)≤p(G).}

Теор. 1 (о 5-и красках): Всякий плоский граф можно раскрасить не более чем 5-ю красками.

Док-во:

ММИ по числу вершин графа.

1) Базис. Пусть число вершин графа не превосходит 5. Тогда каждую вершину можно покрасить в свой цвет и утвержд. выполнится.

2) Индукт. допущ. Пусть утверждение верно для плоского графа с числом вершин р.

3) Добавим к графу ещё одну вершину. Будет р+1 вершина. По сл. №3 из теор. Эйлера в данном графе сущ. вершина, степень кот. не превосходит 5. Пусть это v₀. Удалим v₀ и инцидентные ей рёбра из графа с р+1 вершиной. Получим граф с р вершинами. По индуктивному допущению этот граф можно раскрасить 5-ю красками. Раскрасим его. Вернём v₀ и все инцидентные ей рёбра. Покажем, что v₀ всегда можно покрасить в один из 5-и использованных цветов.

Возможно 3 случая:

1) d(v₀)<5. В этом случае всегда имеется по кр. мере 1 цвет.

2) d(v₀)=5 и среди смежных вершин есть хотя бы две одного цвета. Тогда есть по кр. мере 1 цвет.

3) d(v₀)=5 и все смежные вершины имеют уникальные цвета.

Рассм. плоскую укладку графа. Вершины занумерованы в определённом порядке. Рассм. мн-во V₁₃V; это мн-во всех вершин, кот. отвечают следующим условиям: 1) эти вершины имеют цвета 1 или 3; 2) эти вершины достижимы из v₁ путями, проходящими только через вершины цветов 1 и 3.

Возможны 2 подслучая:

1`) вершина v₃ не входит во мн-во V₁₃. В этом случае перекрасим вершины, входящие во мн-во V₁₃: 1 в 3, 3 в 1. Получим для v₀ свободный первый член.

2`) вершина v₃ не входит во мн-во V₁₃. Рассм. мн-во V₂₄ (строится как V₁₃).

Возможны 2 подслучая:

1``) v₄ не входит во мн-во V₂₄. Далее как в 1`);

2``) v₄ входит во мн-во V₂₄. Значит сущ. простая цепь, соединяющая v₂ и v₄ и проходящая через вершины с цветами 2 и 4.

Данный случай получен из предположения, что v₃V₁₃, а значит, сущ. простая цепь, соединяющая v₁ и v₃ и проходящая только через вершины с цветами 1 и 3. Получаем, что две простые цепи пересекаются. Эти цепи не могут иметь общую вершину, значит, должны пересекаться рёбра, что противоречит тому, что граф плоский, значит, случай 2``) невозможен. ВСЁ.