№1. Последовательности. Производящие функции. Операции над производящими функциями.

Опр.1: Функция действительного или комплексного переменного, имеющая вид назыв. производящей функцией числовой последовательности {A_n­­}.

Зам.1: понятие производящей функции позволяет свести работу с последовательностями к работе с фу-ми. Аналитич. методы работы с производящими фу-ми оказываются удобнее, чем непосредственные методы работы с последоват.

Зам.2: правая часть равенства, задающего производящую ф-ю явл. фактически разложением ф-и в ряд Тейлора в окрестности т. ноль (ряд Макларена). В силу этого последоват. может быть восстановлена по своей производящей ф-и. Для этого достаточно разложить производящую ф-ю в ряд Макларена и проанализировать общий член разложения.

Операции:

1. Линейные комбинации. Имеются послед-ти {a_n} и {b_n}. Пусть {c_n} получена из них так: , . В этом случае производящая ф-я .

2. Сдвиг начала последовательности вправо. Пусть имеется {a_n}. Пусть {b_n} получена из {a_n} так: {b_n}: b_n=0, k=0, 1, …,i-1; b_n=a_n-1, k=i, i+1,… В этом случае B(x)=x­^i­A(x).

3. сдвиг начала последовательности влево. Есть {a_n}. {b_n} получена из неё так: b_n=a_i+n, n=0, 1,… B(x) = .

4. Частичные суммы. Есть {a_n}. {b_n} получена из неё так: . B(x)=A(x)/(1-x)/

5. Дополнительные частичные суммы. Есть {a_n}. {b_n} получена из неё так: . B(x)= .

6. Есть {a_n}. {b_n} получена из неё так: b_n=n*a_n. B(x)=x*A`(x).

7. Есть {a_n}. {b_n} получена из неё так: b_n=a_n/(n+1). B(x)= .

№2. Линейные рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами. Общий метод решения рекуррентных соотношений.

Опр. Пусть имеется {a_n}. Пусть для всех членов этойпослед-ти, начиная с r-го выполняется(*): , где с₁…с_r=const. Тогда говорят, что на послед-ти {a_n} задана лин. однор. рек. соотн. с пост. коэфф. порядка r.

Зам.: очевидно, что зная соотношения (*) и первые r членов послед-ти можно найти любой член послед-ти. В общем случае этот способ полная лажа.

Опр.: Решить соотношение (*), значит, найти n-й член соответствующей послед-ти как ф-ю от n.

Общий метод решения:

Для того, чтобы решить соотнош. (*), достаточно найти приводящую ф-ю соответствующей послед-ти.

Пусть есть (*). Найти a_n=A(n). A(x)-? Рассмотрим многочлен k(x): k(x)=1-c₁x-c₂x-…-c_rx^r. K(x)*A(x)=C(x). Можно показать, что мн-н С(х) обладает таким св-ом: degC(x) ≤ r-1. A(x)=C(x)/K(x).

№3. Основная теорема о рекуррентных соотношениях.

Рассмотрим рекуррентное соотношения (**): , , где , а f(n) – некая асимптотич. ф-я.

Такие рекуррентные соотношения возникают, в частности, при математич. описании рекурсивных алгоритмов вида: имеется задача размерности n, она разбивается на а подзадач размерности n/b, которые решаются рекурсивно.

Теорма даёт правило нахождения асимптотики решения (**). В основе теоремы сравнение 2-х ф-й: f(n) и n^log_b^a. Оказывается, что та из этих ф-й, кот. растёт быстрее и задаёт асимптотику решения. В случае, если ф-и одного порядка, то любая из них задаёт асимптотику решения.

Теор. Пусть а≥1, b>1, f(n) – некая асимптотическая неотриц. ф-я. T(n) задаётся соотношением: , где под n/b понимается либо «пол» либо «потолок» от n/b. Тогда:

1. если f(n)=O(n^log_b^a-ε), то T(n)=θ(n^log_b^a);

2. если f(n)=θ(n^log_b^a), то T(n)=θ(n^log_b^a*log_ba);

3. если f(n)=Ω(n^log_b^a+ε), ε>0 и если выполняется условие нормирования , с<1 и достаточно больших n, то T(n) = θ(f(n)).

Зам.: Условие теор. не охватывает всех возможных случаев.

№5. Понятие графа, псевдографа, орграфа, мультиграфа, нагруженного графа. Изоморфизм графов. Инварианты графов. Подграфы. Теор. Эйлера о сумме степеней вершин графа.

Опр.1: Графом (простым графом) назовём совокупность 2-х множеств V и E, где V - непустое мн-во объектов произвольной природы, назыв. мн-ом вершин графа, Е – мн-во неупорядоченных пар элементов из V, назыв. мн-ом рёбер графа. G=<V, E>.

Кол-во эл-ов во мн-ве V обозначается p(G), в Е – q(G). |V|=p(G), |E|=q(G).

Опр. 2.1: Если имеется пара G=<V, E>, в кот. V (см. Опр.1), а Е (см. Опр.1), в т.ч. повторяющиеся, то такие повторяющиеся пары назыв. кратными рёбрами, а граф G=<V, E> назыв. графом с кратными рёбрами или мультиграфом.

Опр. 2.2: Пусть имеется совокупность 2-х мн-тв G=<V, E>, где V -||-, а мн-во Е – мн-во упорядоченных пар из V, тогда G назыв. ориентированным графом (орграфом), мн-во V- мн-во узлов, Е- мн-во дуг.

Опр. 2.3: -||-||-, Е- мн-во пар элементов из V, включающее в себя, в т.ч., пары одинаковых, повторяющихся элементов из V, то такие эл-ты назыв. петлями, а G- графом с петлями (псевдографом).

Опр. 2.4: Дан граф G=<V, E>. Пусть имеется некоторое мн-во М, пусть задана ф-я f: V→M и/или Е→М. Тогда говорят, что мн-во М- мн-во пометок (мн-во весов), а граф G назыв. нагруженным (взвешенным, раскрашенным, помеченным).

Опр. 3: Пусть имеется граф G, пусть в этом графе имеется ребро еЕ, е=(v_i, v_j). Будем говорить, что вершины v_i и v_j явл. концами рёбер; будем говорить, что вершины v_i и v_j инцидентны одному ребру е; будем говорить, что ребро е инцедентно вершинам v_­i и v_j. Две вершины, инцидентные одному ребру назовём смежными; два ребра, инцидентные одной вершине назовём смежными.

Опр. 4: Пусть имеется два графа G₁=<V₁, E₁> и G₂=<V₂, E₂>. Назовём данные графы изоморфными, если сущ. биекция между мн-ом их вершин, сохраняющая смежность.

Опр. 5: Если мн-во V конечное, то граф назыв. конечным.

Опр. 6: Числовые хар-ки, одинаковые для всех изоморфных графов назыв. инвариантами.

Опр. 7: Пусть дан граф G=<V, E>. Граф G`=<V`, E`> будем назыв. подграфом графа G, если V`V и/или Е`E. Если V`=V, то G` назыв. остовным подграфом графа G. Если остовной подграф явл. деревом, то он назыв. остовным.

Теор. (Эйлера о сумме степеней вершин графа): Сумма степеней всех вершин графа равна удвоенному кол-ву рёбер .

То же для орграфов: Сумма полустепеней захода всех узлов графа равна удвоенному числу дуг. .

№6. Маршрут, цепь, простая цепь, цикл, путь и контур в графе. Деревья. Остовные деревья.

Опр. 1: Маршрутом в графе назовём чередующуюся последовательность вершин и рёбер, любые два соседних эл-та которой инцидентны. Если имеется маршрут v₀e₀ v₁e₁ v₂e₂…v_k, то будем говорить, что он соединяет вершины v₀ и v_k. Если v₀ совпадает с v_k, то маршрут назыв. замкнутым, в противном случае – открытым. Если все рёбра, входящие в маршрут, различны, то маршрут назыв. цепью. Если все вершины, входящие в маршрут, различны, то маршрут назыв. простой цепью. Замкнутая цепь назыв. циклом. Замкнутая простая цепь назыв. простым циклом. В орграфе цикл назыв путём, а цикл – контуром.

Опр.2: Связный циклический граф назыв. деревом.

Опр.3: Ориентированнымдеревом (ордеревом, корневым деревом) назыв. орграф, обладающий тремя св-ми: 1) сущ. ! узел, полустепень захода кот. равна 0; 2) полустепени захода др. узлов равны 1; 3)каждый узел достижим из корня.

Опр. 4: Пусть дан граф G=<V, E>. Граф G`=<V`, E`> будем назыв. подграфом графа G, если V`V и/или Е`E. Если V`=V, то G` назыв. остовным подграфом графа G. Если остовной подграф явл. деревом, то он назыв. остовным.

№7. Эйлеровы циклы. Теор. о сущ. эйлерова цикла. Уникурсальные графы. Гамильтоновы циклы.

Опр. 1: Цикл, содержащий все рёбра графа по одному разу назыв. эйлеровым циклом; граф, в кот. содержится эйлеров цикл назыв. эйлеровым.

Теор. (Критерий сущ. эйлерова цикла): В связном графе (в т.ч. в псевдо- и мультиграфе) эйлеров цикл сущ. т. и т. т., к. все вершины графа имеют чётные степени.

Док-во

1. Необх. Имеется связный эйл. граф. Док-ть, что степени всех вершин чётные. Будем изначально считать степени всех вершин = 0. Будем подсчитывать степени всех вершин, обходя граф по эйлерову циклу. По завершении обхода графа мы побываем в каждой вершине, потому что граф связный; мы обойдём все рёбра, потому что цикл эйлеров; каждый проход через вершину увеличивает её степень на 2. Значит по завершении обхода степени всех вершин подсчитана точно и они кратны двум.

2. Дост. Дан связный граф, степени вершин чётны. Док-ть, что граф эйлеров. Док-во фактически даёт алгоритм построения эйлерова цикла.

Выберем произв. вершину графа. Начнём из неё строить цепь, проходя по каждому ребру ровно 1 раз. Эта цепь незбежно закончится в нач. вершине, замкнувшись в цикл.

Рассмотрим полученный цикл. Он обладает след. св-ом: все рёбра, входящие в него ровно 1 раз. Если в него вошли все рёбра графа, то этот цикл эйлеров и док-во звершено.

Если нет, то среди вершин, вошедших в этот цикл, выберем вершину, инцидентную одному из рёбер, не вошедших в данный цикл (такая вершина будет, т.к. граф связный). Начнём из этой вершины стоить цепь по тому же алгоритму. Получим цикл. Объединим 2 цикла через общую вершину, получим цикл, кот. обладает, выделенным курсивом, св-ом.

Очевидно, что данная процедура конечна. В результате получим за конечное число шагов цикл, кот. будет обладать след. св-ми: 1) все вошедшие в этот цикл рёбра будут входить в него 1 раз; 2) в этот цикл входят все рёбра графа. Т.о. получим эйлеров цикл. Ч. Т. Д.

Опр. 2: Если в графе сущ. цепь, содержащая все рёбра графа, то граф назыв. уникурсальным (полуэйлеров, псевдоэйлеров).

Теор. 2 (критерий уникурсальности): Граф уникурсален т. и т. т., к. он явл. либо эйлеровым либо содержит ровно 2 вершины нечётной степени.

Опр. 3: Цикл, содержащий все вершины графа по одному разу назыв. гамильтоновым. Граф, в кот. есть этот цикл назыв. гамильтоновым.