5.1 Перевод чисел с восьмеричной и шестнадцатеричной в десятичную систему счисления
Правила перевода чисел
из восьмеричной и шестнадцатеричной
системы счисления в десятичную - просты.
Следует числа 8 и 16 выразить через
и
соответственно. Тогда восьмеричное
число в двоичном исчислении будет
выглядит как
,
а шестнадцатеричное число как
.
Например,
Перевод чисел с восьмеричной и шестнадцатеричной системы счисления в двоичную
Для
перевода восьмеричного числа в
двоичное необходимо заменить каждую
цифру восьмеричного числа трехразрядным
двоичным, при переводе шестнадцатеричного
числа заменить каждую цифру
шестнадцатеричного числа четырехразрядным
двоичным. При этом в последней слева
группе отбрасываются нули слева, а в
последней справа группе отбрасываются
нули справа. Например, восьмеричное
число
в двоичной системе будет выглядеть как
.
=
шестнадцатеричное
число
.
=
.
Перевод чисел с двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную
Для перехода с двоичной системы в восьмеричную (шестнадцатеричную) следует:
двигаясь от точки, разделяющую целую и дробную части, влево и вправо, разбивать двоичное число на группы по три ( четыре ) разряда. Недостающие разряды чисел в самой левой и самой правой группе следует представлять нулями;
каждую группу из трех ( четырех ) двоичных разрядов заменять сответствующей цифрой восьмеричной (шестнадцатеричной) системы счисления.
Например, двоичное число 1101111001.1101 при переводе в восьмеричную систему представляется группами по три разряда с дополнением нулями самой левой и самой правой группы
.
=
при переводе его в шестнадцатеричную систему оно разбивается на группы по четыре разряда
.
=
.
В современных компьютерах используется двоичная система счисления. Шестнадцатеричная (реже восьмеричная) система используется при составлении программ для получения более короткой и удобной записи двоичных кодов команд, так как эта система не требует специальных операций по переводу в двоичную систему.
Числовые данные, необходимые для решения задач, вводятся в компьютер в привычной десятичной форме, перевод же в двоичную форму осуществляется программным обеспечением компьютера. Оно же осуществляет обратный перевод при выводе результатов.
5.4 Перевод чисел с десятичной системы счисления в другие
При переводе чисел с десятичной системы в двоичную (восьмеричную, шестнадцатеричную) систему счисления используют различные правила перевода для целой и дробной части.
Перевод целых десятичных чисел в двоичные.
Пусть целое число x, представленное в S – системе, необходимо перевести в h – систему. Число x в h – системе представляется в следующем виде
(5.4)
Делением обеих частей уравнения на h получается
(5.5)
Обозначив правую часть
без элемента
через
,
уравнение 5.5 можно представить в виде
.
Если теперь обе части этого уравнения поделить на h, то получится
(5.6)
откуда по аналогии с 5.5 уравнение 5.6 можно представить как
(5.7)
и так далее.
Из этого следует правило, что для перевода десятичных чисел в двоичную систему счисления необходимо
Делить десятичное число на 2 до тех пор, пока частное станет меньше 2. Полученные остатки от деления выписываются в обратной последовательности, образуя двоичное число.
Например, необходимо перевести десятичное число 73 в двоичное.
_
73 2
72 36 2
1 36 18 2 Записав остатки
в обратной последовательности
0 18 9 2 получается
число
0 8 4 2
1 4 2 2
0 2 1
0
Аналогично производится перевод в восьмеричную и шестнадцатеричную систему счисления. В этом случае производится деление десятичного числа на основание 8 или 16. Но проще сделать перевод в двоичную систему, а из нее потом - в восьмеричную или шестнадцатеричную.
Перевод дробных чисел
Для перевода дробной части десятичного числа в двоичное необходимо ее умножать на основание 2. Целые части получаемых произведений дают последовательность цифр дробной части двоичного числа. Этот процесс, в общем, приближенный. Пример: перевести десятичную дробь 0.1875 в двоичное число.
0.1875
____ 2
0.3750
____ 2
0.7500
____2
1.5000
____2
1.0000
Получается
число
.
.
То есть
=
.
При переводе неправильной дроби отдельно
переводится целая и дробная часть.