Отображения и функции

Функцией называют функциональное соответствие. Смысл в записи G принадлежит (А*В); f: А стремится к В, и последующим как бы способе трактовки функции. G – соответствие; f –функция.

Если соответствие всюду определено, то запись f: А стремится к В, задает отображение А в В.

Если отображение сюрьективно, то говорят А на В.

Для функции f(a)=b, которая является частичным случаем соответствия, принято и используется так называемая инфиксная форма записи.

Если функция f: A стремится в А, соответствует типу А в А, то такая функция задает преобразование.

Логично рассматривая функцию вида f: A1*A2*…*An -> B, отображение произведения n-чисел, n-местная функция, причем то, что стоит слева под знаком функция и множество В справа могут принадлежать разным множествам, по своей природе, в частности f)x)->[0,1] функция предикат.

В случае если слева и справа R1*R2*…*Rn->R, находятся однородные по своей природе множества, например: действительные числа, то функциональное преобразование может быть рассмотрено в виде последовательности применения более мелких (или элементарных) функциональных преобразований и выраженном в виде формулы.

Способ представления сложной функции более простыми складывается из двух приемов: композиций и суперпозиций функции.

Композиция – это 2 операции, рассматриваемые вместе (последовательность).

Суперпозиция – когда каждую операцию рассматривают раздельно (подстановка).

Резюме: введение в понятие функции позволяет «формулировать» соответствие. При построении сложных баз данных структурирование и выявление функциональной зависимости составляет одну из существенных проблем. В частности при последовательном использовании ссылок, удаление малозначимых по каким-то соображениям данных может привести к разрушению ссылочной целостности.

Способы задания функции соответствуют способам задания множеств, поскольку задать функцию – это значит задать некое множество G.

В тоже время для задания функций наиболее употребимы 2 способа:

1. таблица (списки)

2. формальный

Любая таблица x и y задает список значений функции, например6 таблицы лотерейных билетов задает неполностью определенную взаимнооднозначную функцию между номером билета и выигрышем.

Отношения

Реляционными СУБД называют (от англ. Relation - отношение, построенная на этом теоретическом базисе (Access, dBase,…)).

Реляционная алгебра тождественно равна компьютерной математике – это значит, что данный раздел может быть развит как строго математический раздел, то, что составляет реляционную алгебру.

С учетом того, что логические модели данных других типов могут быть приведены к реляционным структурам, реляционный подход является строго формализуемым подходом для представления информационных объектов баз данных и полностью определяет набор операций по их обработке (набор операций реляционной алгебры).

Отношения различают чаще всего двух местное R принадлежит M^n, R - местное отношение, объекты (а1,а2,…,аn) принадлежат Rn, говорят находиться в отношении R если они ему принадлежат, а1 принадлежит R1 – частный случай. Если имеем дело с одноместным отношением, то фактически это отношение задается пары множества m: R принадлежит M и такое отношение называется признаком.

Вводя понятие, отношение мы фактически вводим понятие многомерного признака или многомерного множества.

Свойства отношений удобно изучать и рассматривать, используя понятие бинарного отношения или двухмерного, также как понятие функции многих переменных приводится к понятию функции одной переменной.

Также как любое множество отношения задается одним из известных нам способов.

Свойства отношений:

1. рефлексия или рефлексивность – это некоторое отношение R называемое рефлексивным, если для любого а принадлежащего М, выполняется аRа. В этом случае для матрицы {Cij} на главной диагонали стоят единицы. Отношение называется антирефлексивным, если нет такого, а принадлежащего М, что выполняется аRа. Отношение «<=» является рефлексивным, отношение «<» - является антирефлексивным. Отношение «быть сыном» - также является антирефлексивным. Пример: бывают ситуации, когда некоторые отношения не являются не рефлексивными не антирефлексивным. Например6 отношение «быть симметричным Ох». Если точка расположена на Ох, она симметрична сама себе и не симметрична в любом другом случае.

2. Симметрия или симметричность – если для любой пары объектов выполняется : (а,B) принадлежат М^2 из аRb симметрично bRа. Матрица {Cij} в этом случае симметрична относительно главной диагонали. Антисимметричность: из аRb и bRа следует а=b. Отношение быть симметричным является симметричным отношением.

3. Транзитивность – для любых объектов а, b, c из аRb и bRс. Отношение «быть сыном» не транзитивное.

4. Для отношения R может быть отношение R^, которое вводится следующим образом: а=а1, а2, …, аn-1, аn=b, в котором между соседними элементами выполняется: а1Ra2, a2Ra3, …, aiRi=1,..., an-1Rb. Отношение R таково что оно выполняется между соседними элементами, аR^ будет называться отношением транзитивного замыкания к отношению К в случае если выполняется следующее свойство: если R – транзитивно, то R^=R. Пример:

   • Отношением транзитивного замыкания «быть сыном» является отношение «быть прямым потомком»

   • Транзитивное замыкание отношения «иметь общую стену» является отношение «жить или быть расположенными на одном этаже»

Из рассматриваемых свойств вытекает, например такое свойство или такое отношение как эквивалентность, т.е. некоторое отношение R; а – обладает свойством эквивалентности если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Отношение эквивалентности является обобщением отношения равенства, в том смысле, что отношение равенства является минимальным отношением эквивалентности. Т.е. равным может быть только самому себе, а эквивалентным можно быть среди некоторой группы рассматриваемых как объекты.

Если написать бинарную матрицу, задающую бинарное отношение, то для равенства единицы будут только на главной диагонали.

Отсюда следует, что сам принцип формирования множества эквивалентных объектов и разбиения объектов на классы можно зафиксировать следующим образом:

Полученная система классов по способу построения, таким образом, обладает следующими свойствами:

1. она образует разбиение, т.е. классы попарно не пересекаются

2. любые 2 элемента одного класса эквивалентности

3. любые 2 элемента из разных классов не эквивалентны

Полученное таким образом разбиение называется системой классов эквивалентности по отношению R.

Записанный способ в принципе определяет понятие классификация, а следовательно и некий механизм построения обобщенных информационных описаний, или механизм абстрагирования знаний. Данный прием используется или является основным для построения объективно ориентированных баз данных и программ.

Объектно-ориентированный подход (ООП) – это главный на сегодняшний день подход используемый для создания программно-информационного обеспечения. В частности отношение эквивалентности в ООП может трактоваться таким образом: объекты эквивалентности между собой с точки зрения соответствия их некоторого понятия. Все классы эквивалентности по отношению равенства состоят из одного элемента.