Лекция 10. Операции над множествами
объединение
Множество
Ганта 
Если
Фактическое объединение множеств даёт :
В информационном смысле это важно.
Запись УКд 21 обозначает список группы, все специальности УКд – полный список.
Пересечение
пересечение списков
групп соответственно в соотношении с
реальными информационными объектами
(реальные списки группы) операции
пересечения может оказаться не пустой,
например, в 1-ой декаде сентября.
Актуальность данных
Мы должны обеспечить (в работе с реальными информационными объектами) обеспечение актуальными данными.
,
,
Если задана система множеств U, причём все парные пересечения элементов множеств, образующих эту систему являются пустыми, то такая система называется разбиением элементов, входящих в эти множества или разбиением элементов множества, образованных как объединение системы множеств U, то мы имеем дело с разбиением.
Множество разбиения называют классами разбиения.
Разбиение некоторого множества на классы называется классификацией.
В основе любых методов классификации, а следовательно и распознания, идентификации лежит определение системы правил, позволяющих выполнять точное разбиение.
Разность
В связи в введением операции разности вводим понятие «дополнения множества»
,
где U
называют универсальным
множеством
или множеством
всех множеств
Однако, в случае работы с реальными объектами понятие универсального множества являются контекстно зависимыми.
Как правило понимается, что дополнением являются объекты однородных множеств, но принадлежащих к другим классам разбиения. Свойство, что некоторые контенты определены.
образуют операции
Булевой алгебры над множествами:
В качестве элементов
объекта выступают обычные числа и
соответствующие знаки. Если операции
логические «или/и», мы получаем
конструкции, которые получили название
Булевой алгебры логики и часто в
информационном смысле логические
операции над именами списков информационных
объектов интерпретируются как операция
над множествами, т. е. УКд 21 или УКд 22
.
Лекция 11. Векторы и прямые произведения множеств
Вектором называют упорядоченный набор элементов. Элементами вектора называются координаты или компоненты.
Размерностью вектора называется число координат. Вектора записываются и обозначаются в следующей форме
Два вектора равны
между собой, если n=m
и все
Прямым произведением
М называется
множество всех пар таких, что
,
:
или множество
векторов а, в
Если рассмотренное произведение n множеств, то тогда произведение задать множество векторов А1, Аn или пространство размерностью n:
Фактически в информационном смысле введение понятие вектора позволяет формально описывать информационные объекты, которые характеризуются наличием у них более 1 признака или объекты, одновременно принадлежащих более, чем 1 множеству.
В том случае, когда объект характеризуется одним признаком может оказаться, что эти признаки между собой определённым образом связаны, т. е. для характеристики таких объектов необходимо учитывать возможность взаимозаменяемости исходного множества А и В.
Проекции
Проекции вектора
V
на ось I
называется его i-я
компонента (npi
V).
Если
Может быть построена
проекция вектора V
в этом случае рассматривается как
проекция множества векторов z
- включение i-ой
компоненты.
Понятие соответствия и функции
К соответствиям z-х множеств А В называется подмножество G, образованное на прямом произведении А и В.
При этом проекция:
над областью
определения
состояния G;
над областью
значения
соответствия G.
Если
=А
,
то такое соответствие называется всюду
определённым.
Если проекция
=В
,
то такое соответствие называется
сюръективным.
Например, множество А – множество фамилий; множество В – множество телефонных номеров.
Всюду определенным:
у каждого в списке фамилий есть номер тел (в общем случае это не так),
у каждого в списке тел есть свой абонент
Это не должно выполняться. Элемент в принадлежащий В называется образом элемента а в В при соответствии G.
В частности, образ
элемента G
начнёт задавать множество элементов
;
аналогично
.
Windows – объектно-ориентированная технология.
Пример:
(позиция на шахматной доске)
Задаёт взаимнооднозначные соответствия между множеством фигур и множеством занятых полей. Позиция может быть описана любым из способов кодирования, задающим взаимно-однозначные соответствия.
Пример:
(любые способы кодирования)
Например, шифрование, представление чисел в различных системах исчисления, кодирование записей в БД и архивирование должны задавать взаимнооднозначные соотношения за исключением свойства сюръективности.
Различают процедуры архивирования – изображения и сжатия, т. е. это разные по смыслу и объему информации.
Теорема: из свойств взаимнооднозначного соответствия множеств вытекает или формально может быть показана их равномощность.
Взаимнооднозначное соответствие множеств может быть установлено на основании установления:
взаимнооднозначного соответствия между элементами
соответствие между способом образования множеств из элементов (структуры множеств)