Московский технический университет связи и информатики

Лабораторная работа №6.3

«Интерполяция функций»

Выполнила

Группа

МС1001

Москва 2011

Содержание отчета:

1. Титульный лист………………………………..………..1стр

2. Содержание отчета……..…..………………………….2стр

3. Цель работы………………………………………..…….3стр

4. Задание………………………………………………...…..4стр

5. Выполнение………………………………………..…..…..5стр

6. Программный код……..……………………………..…6-8стр

7. Схема алгоритма……………………………………9-14 стр

Вопросы, подлежащие изучению

1. Постановка задач аппроксимации и интерполяции.

2. Основные понятия: интерполирующая и интерполируемая функции, условие интерполяции. Связь между числом узлов интерполяции и порядком интерполирующего многочлена.

3. Условие единственности решения задачи интерполирования.

4. Интерполяционный многочлен Лагранжа: назначение, область применения.

5. Методика выбора узлов интерполяции при использовании формул Лагранжа и Ньютона.

6. Способы оценки погрешностей интерполяции по формулам Лагранжа и Ньютона. Способы повышения точности интерполяции.

7. Интерполяционная формула Ньютона, область применения.

8. Конечные разности, их назначение и использование. Свойства конечных разностей.

9. Правило выбора начальных узлов интерполяции для формул Ньютона.

10. Практическое правило определения степени интерполяционного многочлена.

11. Сравнение интерполяционных формул Лагранжа и Ньютона.

12. Погрешность интерполяции.

13. Сплайн интерполяция.

14. Способы задания функции в Mathcad: аналитический, табличный, матричный.

15. Средство интерполяции в Mathcad.

Задание:

Выбрать индивидуальное задание из табл. 6.3-1 и табл. 6.3-2 для решения задач интерполяции:

• из табл. 6.3-1 выбираем значения параметров t1 и t2, а также значения x=a (для построения многочлена Ньютона) и x=b (для построения многочлена Лагранжа);

• из табл. 6.3-2 в соответствии с методикой выбора узлов интерполяции по значению x=a выбираем узлы интерполяции (из отрезка [0.05;1.55] – область задания интерполируемой функции) и значения функции в этих узлах. Число узлов определяется заданной степенью интерполяционного многочлена в соответствии с п.2 и п.3.

Следует обратить внимание, что:

• если точка x=a расположена ближе к левому концу отрезка, выбираемого из табл. 6.3-2, то для построения первой формулы Ньютона необходимо выбрать узлы ( - ближайший к точке x=a узел слева);

• если точка x=a расположена ближе к правому концу отрезка, выбираемого из табл. 6.3-2, то используют вторую формулу Ньютона и необходимо выбрать узлы (x_n – ближайший к точке x=a узел справа);

• если точка x=a расположена примерно в середине таблицы, то следует выбрать ту формулу, которая обеспечит меньшую погрешность.

Выполнить линейную, квадратичную и кубическую интерполяцию функции , заданной таблично (табл. 6.3-2), указанным в табл. 6.3-1 методом (значение t1) «расчет на ПК»:

• составить схему алгоритма и программу решения задачи интерполяции и провести контрольное тестирование на данных примера, разобранного в п. 5;

• вычислить значение интерполирующего многочлена Ньютона в точке ; для многочлена Лагранжа в точке ;

• провести оценку погрешности интерполяции по формулам практической оценки погрешности.

Построить интерполяционный многочлен второй степени (Ньютона или Лагранжа в зависимости от значения t2) в явном виде (ручной расчет). Вычислить значения построенного многочлена во всех выбранных узлах интерполяции. Сравнить полученные результаты с таблично заданными значениями.

Получить решения для индивидуального варианта задания с помощью математических пакетов.

Выполнение:

1. Выбор индивидуального задания по индивидуальному варианту.

№ вар	Вид интерполяционного многочлена			t1	t2
	Многочлен Ньютона	Многочлен Лагранжа
	x=a	x=b	Номера узлов
11	0.93	0.51	6,8,9,10,13,14	1	2

Узлы для метода Лагранжа

№ узла-i	6	8	9	10	13	14
xi	0.35	0.45	0.5	0.55	0.7	0.75
y=f(xi)	-3.7555	-3.489	-3.325	-3.1385	-2.429	-2.1375

x=a=0.93

Узлы для метода Ньютона

для вычисления значения интерполирующей функции в точке x=a=0.93 методом Ньютона выберем узлы интерполяции х₀=0.9, х₁=0.95, х₂=1, х₃=1,05 х₄=1,1

Для расчета на ПК – метод Ньютона

Для ручного расчета – метод Лагранжа

Ручной расчет в MathCad методом Лагранжа

Переномеруем узлы

Общая формула

Линейная интерполяция

Квадратичная интерполяция

Кубическая интерполяция

Расчет на ПК методом Ньютона

Таблица конечных разностей :

x	y
0,9	-1,077	0,4205	0,036	0,0015	0
0,95	-0,6565	0,4565	0,0375	0,0015
1	-0,2	0,494	0,039
1,05	0,294	0,533
1,1	0,827

Вычислим значение интерполирующего многочлена ньютона в точке а = 1.07

значение интерполирующего многочлена Ньютона в точке a=0.43

значение интерполирующего многочлена Ньютона при n+1=2 (линейная интерполяция)

при n+1=3 (квадратичная интерполяция):

При n+1=4 (кубическая интерполяция):

Оценим погрешность первой формулы Ньютона:

Для линейной интерполяции:

Для кубической интерполяции:

Для квадратичной интерполяции:

Число Узлов n+1			Оценка погрешности
			Метод Ньютона	Метод Лагранжа | |
2	-0.8247	7.056	0.10092	0.0067
3	-0.824705	7.0493	8.4•10-5	0.000084
4	-0.824705	7.049216	6.72•10-5	8.0•10-5